第二部分 填空题-专题8 解析几何-2016-2020五年高考理科数学真题分类【区块练】word

解析几何 1.[2020·全国卷Ⅰ·15]已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为________. 2.[2019·全国卷Ⅱ·16]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若eq \o(F1A,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(F1B,\s\up6(→))·eq \o(F2B,\s\up6(→))＝0，则C的离心率为________. 3.[2019·全国卷Ⅲ·15]设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________. 4.[2018·全国卷Ⅲ·16]已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，则k＝________. 5.[2017·全国卷Ⅰ·15]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝60°，则C的离心率为________. 6.[2017·全国卷Ⅱ·16]已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________. 7.[2016·全国卷Ⅲ·16]已知直线l：mx＋y＋3m－eq \r(3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点.若|AB|＝2eq \r(3)，则|CD|＝________. 专题8　解析几何 1.【答案】　2　【考查目标】　本题主要考查双曲线的几何性质、直线的斜率等知识，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算. 【解析】　设B(c，yB)，因为B为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1上的点，所以eq \f(c2,a2)－2,B)eq \f(y,b2) ＝1，所以yeq \o\al(2,B)＝eq \f(b4,a2).因为AB的斜率为3，所以yB＝eq \f(b2,a)，eq \f(\f(b2,a),c－a)＝3，所以b2＝3ac－3a2，所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a，所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝2. 【易错警示】　本题的易错点有两处：一是忽视题眼“AB的斜率为3”，由yeq \o\al(2,B)＝eq \f(b4,a2)得yB＝±eq \f(b2,a)；二是将双曲线中a，b，c的关系式与椭圆中a，b，c的关系式搞混. 2.【答案】　2　【考查目标】　本题主要考查双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，平面向量的相关知识，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、教学运算. 【解析】　通解　因为eq \o(F1B,\s\up6(→))·eq \o(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，如图.所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为eq \o(F1A,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝eq \f(a,b)，tan∠BOF2＝eq \f(b,a).因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以eq \f(b,2)＝eq \f(2×\f(a,b),1－（\f(a,b)）2)，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝2. 优解　因为eq \o(F1B,\s\up6(→))·eq \o(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又eq \o(F1A,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形.由F2(c，0)可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,