专题04 直线与抛物线相结合问题-备战2021年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖

备战2021年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第五篇 解析几何 专题04 直线与抛物线相结合问题 类型 对应典例 直线与抛物线相结合求直线方程 典例1 直线与抛物线的位置关系 典例2 抛物线中的弦长问题 典例3 抛物线中的中点弦问题 典例4 抛物线中的焦点弦问题 典例5 【典例1】【2021·海南高三第二次模拟考试】（）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆：的圆心，轴负半轴上有一点，直线被截得的弦长为5． （1）求点的坐标； （2）过点作不过原点的直线，分别与抛物线和圆相切，，为切点，求直线的方程． 【思路引导】（1）先对圆的方程标准化，得到焦点坐标，得出抛物线方程，由已知设直线为，联立后，利用弦长公式计算即可求得结果； （2）由条件可设直线的方程为，与抛物线方程联立，因为与抛物线相切，由，求得得，进而解得的坐标，设，由题意可知点与坐标原点关于直线对称，解得点坐标，进而可求得直线的方程． 【解析】（1）圆的方程可化成，所以， 所以抛物线的方程为． 设，则直线的方程为， 由消去，得， 设直线与的交点横坐标分别为和，由题意知， 即，解得，故． （2）由条件可设直线的方程为， 由消去，整理得， 因为与抛物线相切，所以，解得． 代入原方程组解得． 设，由题意可知点与坐标原点关于直线：对称， 所以解得． 所以直线的方程为，即． 【典例2】【东北三省三校2019届高三第三次模拟】抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点. （Ⅰ）求证：直线与抛物线相切； （Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标. 【思路引导】 （Ⅰ）设，由此可得直线的斜率，进而得到直线的斜率，由此得到的方程为，令可得点的坐标，于是可得直线的斜率．然后再由导数的几何意义得到在点A处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及可求得点A的坐标． 【详解】 （Ⅰ）由题意得焦点．设， ∴直线的斜率为， 由已知直线斜率存在，且直线的方程为， 令，得， ∴点的坐标为， ∴直线的斜率为． 由得， ∴，即抛物线在点A处的切线的斜率为， ∴直线与抛物线相切． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为， 由 消去整理得， 设， 则． 由题意得直线的斜率为 ， 直线的斜率为， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ， 整理得， 解得或． ∵ ， ∴， 又，且， ∴存在，使得． 【典例3】【2021·辽宁辽阳市·高三期末】已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为． （1）若直线过焦点，且，求的值； （2）已知点，记直线，的斜率分别为，，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程． 【思路引导】（1）利用抛物线焦半径公式可直接求得结果； （2）设，与抛物线方程联立后得到韦达定理的形式，代入中整理可求得，验证取值后得到所过定点；由知，知点的轨迹是以为直径的圆，确定圆心和半径后即可得到轨迹方程，验证可知轨迹中的不符合题意，由此得到最终结果. 【解析】（1）由抛物线方程知：，准线方程为：． ，， . （2）依题意可设直线， 由得：，则， …① ， …② 由①②化简整理可得：， 则有，解得：或． 当时，， 解得：或， 此时过定点，不符合题意； 当时，对于恒成立， 直线过定点，. ，，且四点共线，， 则点的轨迹是以为直径的圆． 设，的中点坐标为，， 则点的轨迹方程为． 当的坐标为时，的方程为，不符合题意， 的轨迹方程为（除掉点）． 【典例4】【2021·浙江宁波市·高三检测】已知直线与抛物线：交于，两点，为弦的中点，过作的垂线交轴于点. （1）求点的坐标； （2）当弦最长时，求直线的方程. 【思路引导】（1）设，，代入抛物线相减得到，再根据计算得到答案. （2）直线的方程为，联立方程，根据韦达定理得到， ，代入计算得到得到答案. 【解析】（1）设，，， 则两式相减得. 因为，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为， 所以. 因为，所以， 解得，所以点的坐标为. （2）由（1）知，直线的斜率一定存在，且不为0，设直线的斜率为， 则，即，所以直线的方程为. 联立得， 则，. 由，可得， 所以. 设，令， 可知，此时，即， 所以当弦最长时，直线的方程为或. 【典例5】【2021·湖南常德市一中高三月考】如图，已知抛物线()的焦点为，过点的直线交抛物线于､两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记，的面积为，. （1）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积； （2）求的最小值及此时点的坐标. 【思路引导】（1）先根据焦点坐标求抛物线方程，利用焦点弦长公式求直径，再求面积；（2）设，设直线方程，与抛物线方程联立，求得