秘籍13 计数原理-备战2021年高考数学(理)抢分秘籍

秘籍13 计数原理 1．要排出某理科班一天中语文、数学、物理、英语、生物、化学6堂课的课程表，要求语文课排在上午（前4节），生物课排在下午（后2节），不同排法种数为（　　） A．144 B．192 C．360 D．720 【答案】B 【解答】：根据题意，分2步进行分析： ①，要求语文课排在上午（前4节），生物课排在下午（后2节）， 则语文课有4种排法，生物课有2种排法， 故这两门课有4×2=8种排法； ②，将剩下的4门课全排列，安排在其他四节课位置，有A44=24种排法， 则共有8×24=192种排法， 故选：B． 两个计数原理解题的方法： （1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理． （2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化． 2．有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（　　） A．8种 B．16种 C．32种 D．48种 【答案】B 【解答】：根据题意，假设有1、2、3、4、5，共5个位置，分3步进行分析： ①，甲必须站在正中间，将甲安排在3号位置， ②，在1、2、4、5中一个位置任选1个，安排乙，有4种情况， 由于乙、丙两位同学不能相邻，则丙有2种安排方法， ③，将剩下的2名同学全排列，安排在剩下的2个位置，有A22=2种安排方法， 则有1×4×2×2=16种安排方法； 故选：B． 1．利用两个原理解决应用问题时最易忽视判断对完成的事件是分类完成还是分步完成． 2．有特殊元素时，用元素优先法；有特殊位置时，用位置优先法． 1．有5名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有（　　） A．种 B．3种 C．2种 D．种 【答案】D 【解答】：根据题意，分2步分析： ①，由于甲、乙两人必须站在一起，将甲乙2人看成一个整体，考虑其顺序，有A22种情况， ②，将这个整体与其余3人全排列，有A44种情况， 则甲、乙两人必须站在一起的排法A22A44种排法； 故选：D． 求解排列、组合问题常用的解题方法 （1）元素相邻的排列问题——“捆绑法”； （2）元素相间的排列问题——“插空法”； （3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”； （4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法； （5）分组分配问题 ①平均分组问题分组数计算时要注意除以组数的阶乘． ②不平均分组问题实质上是组合问题． 2．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A．40 B．74 C．84 D．200 【答案】B 【解析】由题意，考生从试卷上的9个题目中选6个进行作答，要求至少包含前5个题目中的3个，包含三种情况： 前5个题目中恰好包含3个，共有种； 前5个题目中恰好包含4个，共有种； 前5个题目中恰好包含5个，共有种， 由分类计数原理，可得共有种不同的选法， 故选B． 【名师点睛】本题主要考查了分类计数原理与组合的应用其中解答中认真审题，合理分类，利用排列、组合的知识求解每种情况的结果是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 对于复杂问题的排列、组合问题，要注意分类讨论思想的运用，分类时按某一标准进行，切勿因分类标准不定造成漏解或多解． 3．（x2+）5的展开式中x4的系数为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【解答】：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为： Tr+1=（x2）5﹣r（）r=， 由10﹣3r=4，解得r=2， ∴（x2+）5的展开式中x4的系数为=40． 故选：C． 4.（1+x﹣x2）10展开式中x3的系数为（　　） A．10 B．30 C．45 D．210 【答案】B 【解答】：（1+x﹣x2）10=[1+（x﹣x2）]10 的展开式的通项公式为Tr+1=（x﹣x2）r． 对于（x﹣x2）r，通项公式为Tm+1=•xr﹣m．（﹣x2）m， 令r+m=3，根据0≤m≤r，r、m为自然数，求得，或． ∴（1+x﹣x2）10展开式中x3项的系数为=﹣90+120=30． 故选：B． 5.若（x2）n展开式中各项系数之和为64，则展开式中的常数项是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【解答】：（x2）n=， 由（x2）n展开式中各项系数之和为64，得22n=64， ∴2n=6． 则=， 其展开式的通项为． 取6﹣2r=0，得r=3． ∴展开式中的常数项是． 故选：B． 【名师点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型. 1．赋值法解决二项展开式中