秘籍12 数系的扩充与复数的引入-备战2021年高考数学(文)抢分秘籍

秘籍12 数系的扩充与复数的引入 1．如果复数z=，则（　　） A．|z|=2 B．z的实部为1 C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i 【答案】C 【解答】：由z==， 所以，z的实部为﹣1，z的虚部为﹣1， z的共轭复数为﹣1+i， 故选：C． 【名师点睛】本题考查复数除法运算以及复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 复数的定义 形如a+bi（a，b∈R）的数叫作复数，其中a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部，i为虚数单位且规定i2=–1． 注意：复数的虚部是b，而不是bi． 2．复数（i为虚数单位）的共轭复数是（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【答案】B 【解答】：化简可得z= ==1+i， ∴z的共轭复数=1﹣i 故选：B． 【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数． 互为共轭复数的充要条件：a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c，b=–d（a，b，c，d∈R）． 求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准代数形式，然后其实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数． 3．若i是虚数单位，复数z的共轭复数是，且2i﹣=4﹣i，则复数z的模等于（　　） A．5 B．25 C． D． 【答案】A 【解答】：∵2i﹣=4﹣i，∴=﹣4+3i，∴z=﹣4﹣3i，∴|z|==5， 故选：A． 【名师点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 复数的模 向量的长度r叫作复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，则|z|=|a+bi|=r=（r≥0，r∈R），即复数a+bi的模表示点Z（a，b）与原点O的距离． 特别地，b=0时，z=a+bi是实数a，则|z|=|a|． 求复数的模时，直接根据复数的模的公式 |a+bi|=和性质|z2|=||2=z·，|z1·z2|=|z1|·|z2|，||=，||=|z|等进行计算． 1．己知点，的坐标分别为(1，0)，(0，1)，若复数对应的向量为，则复数对应点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为点，的坐标分别为(1，0)，(0，1)，所以,所以复数对应点位于第二象限，故本题选B. 【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，向量的始点和终点的顺序很重要. 复数的几何意义 2．已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于（　　） A．﹣2 B．2 C． D．﹣1 【答案】C 【解答】：∵==是纯虚数， ∴，解得a=． 故选：C． 复数的分类 z=a+bi 注意： （1）一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0； （2）两个不全是实数的复数不能比较大小； （3）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示． 3．已知i为虚数单位，则=（　　） A．﹣1+i B．﹣1 C．1﹣i D．0 【答案】A 【解答】：= ==． 故选：A． 复数的四则运算 1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，把含有虚数单位i的项看作一类同类项，不含i的项看作另一类同类项，分别合并即可；复数除法运算的关键是分母实数化，注意要把i的幂化成最简形式． 2．复数运算中的常用结论： （1）（1±i）2=±2i；（2）=i； （3）=–i；（4）=b–ai； （5）i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=–1，i4n+3=–i，i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0（n∈N）． 1．（2020·河南新乡市·高三一模）复数，则（ ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】 由已知，， 所以． 故选：B. 2．（2020·海南高三一模）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：. 故选：D． 3．（2020·江西高三零模）已知复数，则在复平面上对应的点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】 复数在复平面上对应的点为，在第一象限. 故选：A. 4．（2020·北京高三二模）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】 解：，由题意知，对应的点的坐标为，则， 故选:D. 5．（2020·广西柳州市·高三二模）若复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】 由复数满足，则， 则，故选D． 6．（2020·上海青浦区·高三一模）已知复数满足，则________