秘籍09 不等式、推理与证明-备战2021年高考数学(理)抢分秘籍

秘籍09 不等式、推理与证明 1．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（　　） A．ca＞cb B．ac＜bc C． D．logac＞logbc 【答案】D 【解答】： 对于A、构造函数y=cx，由于0＜c＜1，则函数y=cx是减函数，又由a＞b＞1，则有ca＞cb，故A错误； 对于B、构造函数y=xc，由于0＜c＜1，则函数y=xc是增函数，又由a＞b＞1，则有ac＞bc，故B错误； 对于C、﹣==，又由0＜c＜1，a＞b＞1，则（a﹣c）＞0、（b﹣c）＞0、（b﹣a）＜0，进而有﹣＜0，故有＜，故C错误； 对于D、logac﹣logbc=﹣=lgc（），又由0＜c＜1，a＞b＞1，则有lgc＜0，lga＞lgb＞0，则有logac﹣logbc=﹣=lgc（）＞0，即有logac＞logbc，故D正确； 故选：D． 2．若实数a、b、c同时满足：①a2＞b2；②1+ac＜a+c；③logba＞c．则a、b、c的大小关系是（　　） A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c 【答案】D 【解答】：实数a、b、c同时满足：①a2＞b2；②1+ac＜a+c；③logba＞c． 由③可得：a，b＞0，b≠1，又由①可得a＞b＞0． 由②可得：（a﹣1）（c﹣1）＜0，则或． 由，及其③可得，若a＞b＞1，则logba＞1， 由c＜1，可得a＞b＞c； 若0＜b＜1，则logba＜0，c＜0，可得a＞b＞c； 由，及其③可得logba＞1，可得a＜b＜1，与a＞b矛盾， 综上可得a＞b＞c， 故选：D． 两个实数比较大小的方法 （1）作差法，其步骤为： 作差⇒变形⇒定号（确定正负号，即判断差与0的大小）⇒得出结论． 含根号的式子作差时一般先乘方再作差． （2）作商法，其步骤为：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论． （3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小． （4）赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论． 3．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（　　） A．ac2＜bc2 B．＜ C．＞ D．a2＞ab＞b2 【答案】D 【解答】解：选项A， ∵c为实数，∴取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立； 选项B，=， ∵a＜b＜0，∴b﹣a＞0，ab＞0，∴＞0，即，故选项B不成立； 选项C， ∵a＜b＜0，∴取a=﹣2，b=﹣1，则，，∴此时，故选项C不成立； 选项D， ∵a＜b＜0，∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，∴a2＞ab．∴ab﹣b2=b（a﹣b）＞0， ∴ab＞b2．故选项D正确， 故选：D． 4.已知a＞b＞0，c≥d＞0，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵a＞b＞0，c≥d＞0， ∴＞， ∴＞， 故选：A． 【名师点睛】本题主要考查不等式的基本性质，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 不等式的性质 1．（1）a>b，ab>0⇒<；（2）a<0<b⇒<；（3）a>b>0，d>c>0⇒>． 2．若a>b>0，m>0，则 （1）<；>（b–m>0）；（2）>；<（b–m>0）． 5．已知集合， ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，故，故选D. 1．一元一次不等式的解法 不等式ax>b的解： （1）当a>0时，x>． （2）当a<0时，x<． （3）当a=0时，若b≥0，则无解；若b<0，则x∈R． 2．一元二次不等式的解法 （1）对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解． （2）解含参数的一元二次不等式的步骤 ①若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． ②判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． ③确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． （3）三个“二次”间的关系 Δ=b2–4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c （a>0）的图象 ax2+bx+c=0 （a>0）的根 有两个相异的实数 根x1，x2（x1<x2） 有两个相等的实数 根x1=x2=– 没有实数根 ax2+bx+c>0 （a>0）的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠–} R ax2+bx+c<0 （a>0）的解集 {x|x1<x<x2} φ φ 3．分式不等式的解法 分式不等式进行等价转化的方向有两个，一是根据符号法则（同号商为正，异号商为负）将其转化为不等式组；二是根据商与积的符号之间的关系直接转化为整式不等式． （1）>0⇔f（x）g（x）>0；（