秘籍07 平面向量-备战2021年高考数学(理)抢分秘籍

秘籍07 平面向量 1．向量=（1，2），=（3，4），且x，y∈R，x=（5，6），则x﹣y=（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【答案】B 【解答】：向量=（1，2），=（3，4）， 且x，y∈R，x=（5，6）， 则（x+3y，2x+4y）=（5，6）， ∴， 解得， ∴x﹣y=﹣3． 故选：B． 2．已知向量=（λ，﹣2），=（1，3），若⊥（+），则λ=（　　） A．1 B．﹣2 C．l 或﹣2 D．1 或 2 【答案】C 【解答】：∵向量=（λ，﹣2），=（1，3）， ∴=（λ+1，1）， ∵⊥（+）， ∴•（）=λ（λ+1）﹣2=0， 解得λ=1或λ=﹣2． 故选：C． 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用. 1．向量坐标的求法 （1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1）， |a|=，|a＋b|=. 3．平面向量共线的坐标表示 设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1=0. 注：（1）共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得. （2）若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线． 4．平面向量垂直的坐标表示 设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 3．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设=，=，则向量=（　　） A．+ B．﹣﹣ C．﹣+ D．﹣ 【答案】C 【解答】：如图所示， ∵点E为CD的中点，CD∥AB， ∴==2， ∴=，==﹣， ∴==﹣+， 故选：C． 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的． 1．应用平面向量基本定理的关键点 （1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量． （2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来． （3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等． 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 （1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算． （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式. 4．设向量与的夹角为θ，且，则cosθ=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】：∵向量与的夹角为θ，且， ∴==（2，1）， 则cosθ===﹣， 故选：A． 5．若||=||=1，（+2）⊥，则向量与的夹角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解答】：||=||=1，（+2）⊥， 可得=0，即：1+2cos=0，所以=120°． 故选：C． 【名师点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是夹角公式；二是坐标公式，主要应用有以下几个方面： （1）求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得； （2）求投影：向量在上的投影是； （3）若向量垂直，则； （4）求向量的模（平方后需求）. 设非零向量，是与的夹角. （1）数量积：. （2）模：. （3）夹角：. 注：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 1．已知是所在平面内一点，且，，则 A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由题意得∴，∴， ∴，故选C. 【名师点睛】本题考查了平面向量的加减及数乘运算，解题的关键把多个向量的关系转化为两个变量的关系即可，类似“减元”思想. 2．已知点，若，且点在直线上，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点P的坐标为（x，y），所以，， 由，所以有（x﹣2，y﹣3）＝+λ，得：，由点P在直线上 则有＝， ．故选B. 用向量解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过