秘籍04 立体几何-备战2021年高考数学(文)抢分秘籍

秘籍04 立体几何 1． 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　） A．20π B．24π C．28π D．32π 【答案】C 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥， 圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥底面半径均为3，高均为4， 则其表面积：S=π×32+π×3×5+2π×1×2=28π． 故选：C． 对于体积或表面积问题，一般先根据三视图准确还原几何体，再利用常规的几何体的体积公式或表面积公式求解. 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可知几何体是组合体，左侧是四棱锥右侧是三棱柱，如图： 棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，三棱柱的底面等腰三角形的底边长为2，高为2． 所以几何体的体积为：=． 故选：B． 求解几何体的表面积或体积的方法： (1)对于规则几何体，可直接利用公式计算． (2)对于不规则几何体，可采用割补法求解.对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解． (3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用． 3．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为2，则这个四棱锥的外接球的体积为（　　） A． B． C．16π D．32π 【答案】B 【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则 在直角三角形ABC中，AC=×AB=4， ∴AO=CO=2， 在直角三角形PAO中，PO===2， ∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为2， ∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=2， 球的体积V=πr3=π. 故选：B． 解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． 4.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=． （1）求证：平面PAB⊥平面PCD； （2）求三棱锥D﹣PBC体积． 【解答】（1）证明：∵PA=PD=，AD=2， ∴PA2+PD2=AD2，∴PA⊥PD， ∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD， ∴CD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD， ∴PA⊥CD，又PD∩CD=D， ∴PA⊥平面PCD， ∵PA⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PCD． （2）解：取AD中点O，连结PO， ∵PA=PD=，PA⊥PD， ∴PO=1， ∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，PO⊥AD， ∴PO⊥平面ABCD． ∴VD﹣PBC=VP﹣BCD==2×1=． 等体积转换法是解答题求体积最重要的方法 1．若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为，则其表面积为（　　） A． B．6π C． D． 【答案】A 【解答】解：几何体是半圆锥，底面半径为r，高为：r， 该几何体的体积为， 可得：π=， 解得r=2， 半圆锥的表面积为：=6π+4． 故选：A． 此类问题对考生的空间想象能力要求较高，会根据三视图作出空间几何体的直观图，然后根据条件结合表面积公式求得空间几何体的表面积， ①画三视图的原则：长对正、高平齐、宽相等. ②圆锥的表面积. 2．已知三棱锥P﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，AB=2，PA=PB=PC=，则球O的表面积为（　　） A．9π B． C．4π D．π 【答案】A 【解答】解析：设AB中点为D，则D为△ABC的外心，因为PA=PB=PC=，易证PD⊥面ABC， 所以球心O在直线PD上， 又PA=，AB=2， 算得PD=1， 设球半径为R，则△AOD中，（R﹣1）2+2=R2，可得：R=． 则球O的表面积S=4πR2=9π， 故选：A． 对于空间几何体的外接球问题，首先根据几何体的结构特征利用勾股定理求得球的半径，然后利用公式求解，球的表面积公式，体积公式. 3．如图，在以，，，，，为顶点的多面体中，平面，，，，，． （Ⅰ）请在图中作出平面，使得平面，并说明理由； （Ⅱ）证明：平面． 【解答】解：（Ⅰ）如图，取中点，连接，，则平面即为所求． ，， 且． 四边形是平行四边形，则． 平面，平面． 平面． ，平面，平面， 平面． 平面，平面，且． 平面平面． 平面， 平面． （Ⅱ）由（Ⅰ）四边形是平行四边形，则， ， 是边长为1的正三角形． ，， ． ，即． 平面，平面． 平面，平面，． 平面． 牢记线面平行，面面平行及线面垂直，面面垂直的判定定理及性质定理是证明的关键