秘籍03 导数及其应用-备战2021年高考数学(文)抢分秘籍

秘籍03 导数及其应用 1．已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（　　） A．e B．﹣e C． D．﹣ 【答案】C 【解答】解：设切点坐标为（a，lna）， ∵y=lnx，∴y′=， 切线的斜率是， 切线的方程为y﹣lna=（x﹣a）， 将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e， ∴切线的斜率是=； 故选：C． 求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法 （1）已知切点P(x0, y0)，求y＝f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k＝f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程． （5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上． 2．y=x2﹣lnx的单调递减区间为（　　） A．[﹣1，1] B．（0，1） C．[1，+∞） D．（0，+∞） 【答案】B 【解答】解：函数的定义域为x＞0,y′=x﹣， 令x﹣＜0，由于x＞0，从而得0＜x＜1， ∴函数y=x2﹣㏑x的单调递减区间是（0，1）． 故选：B． 函数的单调性与导数的关系 一般地，在某个区间(a,b)内： ①如果，函数f (x)在这个区间内单调递增; ②如果，函数f (x)在这个区间内单调递减; ③如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数． 3．函数在，上单调递增，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：对求导：； 函数在，上单调递增，即导函数在，上恒有； 为一元二次函数，其对称轴为：，由选项可知，开口朝上， 故在，上为单调递增函数； 故只需满足：，解得：；或无解， 故选：． 由函数f (x)的单调性求参数的取值范围的方法 （1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)(f ′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； （3）若已知f (x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围. 4．设函数，. （1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值； （2）若在上为单调增函数，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，则（）， 当，，在上单调递减； 当，，在上单调递增， 故当时，取得极小值，为， ∴的极小值为2. （2）因为在上为单调增函数，所以在上恒成立， 即对于恒成立，则， 故的取值范围是. 函数极值问题的常见类型及解题策略 （1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数f (x)极值的方法 ①确定函数f (x)的定义域． ②求导函数f ′(x)． ③求方程f ′(x)＝0的根． ④检查f ′(x)在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值，如果f ′(x)在这个根的左右两侧符号不变，则f (x)在这个根处没有极值． （3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数f ′(x)，求方程f ′(x)＝0的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的值或取值范围. 5．函数对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a 的取值范围为（　　） A．[2，+∞） B．[4，+∞） C．{4} D．[2，4] 【答案】C 【解答】解：①当x=0时，f（x）=1≥0，对于a∈R皆成立． ②当0＜x≤1时，若总有f（x）≥0，则≥0，∴， 令g（x）=，g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=． 当0时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0． ∴g（x）在x=时取得最大值，g（）=4，∴a≥4． ③当﹣1≤x＜0时，若总有f（x）=0，则≥0，∴a≤． 令h（x）=，则h′（x）=≥0， ∴h（x）在