押第19题 立体几何-备战2021年高考数学（文）临考题号押题（全国卷2）

押第19题 立体几何 对于立体几何的解答题，在高考中常借助柱、锥体考查线面、平行与垂直，考查利用空间向量求二面角、线面角、线线角的大小，考查点面距离探索存在性问题及位置关系等，难度中等偏上． 预计2021年高考新课标全国卷第19题会考查立体几何问题，以平行关系、空间角为主线进行考查．立体几何是高考考查的重要内容之一，一般分为两个问题，第一问考查空间线面位置关系的证明，第二问体积问题或者等体积法求点面距离． 1.（2020年高考新课标Ⅱ卷文科）如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形， ， 分别为 ， 的中点， 为 上一点，过 和 的平面交 于 ，交 于 （1）证明： ，且平面 平面 ； （2）设 为 的中心，若 ， 平面 ，且 ，求四棱锥 的体积． 2.（2020年高考新课标Ⅱ卷理科）如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形， ， 分别为 ， 的中点， 为 上一点，过 和 的平面交 于 ，交 于 . （1）证明： ，且平面 平面 ； （2）设 为 的中心，若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 3. （2019年高考新课标Ⅱ卷文科）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥 的体积． 4.（2018年高考新课标Ⅱ卷文科）如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离． 1．（2021·四川成都市·高三二模（文））如图①，在等腰三角形 中， ， ， ， 满足 ， ．将 沿直线 折起到 的位置，连接 ， ，得到如图②所示的四棱锥 ，点 满足 ． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）当 时，求三棱锥 的体积． 2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，四棱锥 中，底面 为正方形， ， 平面 ， ， 为 的两个三等分点. （1）证明： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离. 3．（2021·辽宁高三二模（文））如图，三棱锥 的底面 和侧面 都是边长为4的等边三角形，且平面 平面 ，点 为线段 中点， 为 中点，点 为 上的动点． （Ⅰ）若 平面 ，求线段 的长； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥 与四棱锥 的体积的比值．. 4．（2021·天津河西区·高三一模）如图，已知三棱柱 ，平面 平面 ， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点. （1）证明： ； （2）求直线 与平面 所成角的余弦值； （3）求二面角 的正弦值. 5．（2021·河北石家庄市·高三一模）2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. （Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为 的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体 ，几何体 的底面半径和高都为 ，其底面和半球体的底面同在平面 内.设与平面 平行且距离为 的平面 截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明； （Ⅱ）现将椭圆 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球 ， （如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球 的体积公式，并写出椭球 ， 的体积之比. 6．（2021·全国高三二模（文））图甲是由正方形 ，等边 和等边 组成的一个平面图形，其中 ，将其沿 ， ， 折起得三棱锥 ，如图乙． （1）求证：平面 平面 ； （2）过棱 作平面 交棱 于点 ，且三棱锥 和 的体积比为 ，求点 到平面 的距离． 7．（2021·山东枣庄市·高三二模）如图，正方体 的棱长为1，点 在棱 上，过 ， ， 三点的正方体的截面 与直线 交于点 . （1）找到点 的位置，作出截面 （保留作图痕迹），并说明理由； （2）已知 ，求 将正方体分割所成的上半部分的体积 与