§5.4 直线、平面垂直的判定与性质-2020-2021学年高二数学下学期期末考试迅速提分复习方案（江苏专用）

§5.4　直线、平面垂直的判定与性质 一、【知识梳理】 知识点1．直线与平面垂直的判定与性质 定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直． 定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. ⇒l⊥α 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. ⇒a∥b 知识点2．平面与平面垂直的判定与性质 定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. ⇒β⊥α 性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. ⇒AB⊥α 知识点3．线面、面面垂直的综合应用 1．直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法． ②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一直线的两平面平行． 2．斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 3．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的性质 如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 二、【典例剖析】 考点一 ：直线与平面垂直的判定与性质 【典例1】如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3. （Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD； （Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值. 【典例2】如图，已知四棱锥的底面是梯形， 且 (1)若为的中点，证明:⊥平面 (2)求点到平面的距离. 【变式探究】 1.如图，在三棱柱中，，，，平面. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 2.如图，在四棱锥中，底面为菱形，,，面面,为等边三角形，为的中点． (1)求证：平面； (2)若是的中点，求三棱锥的体积． 考点二 ： 平面与平面垂直的判定与性质 【典例3】如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F． （1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积． 【典例4】如图所示，在四棱锥中，平面，是线段的中垂线，与交于点，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【变式探究】 1.如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面所在平面的位置关系是（ ） A.平面与平面平面都垂直 B.它们两两垂直 C.平面与平面垂直，与平面不垂直 D.平面与平面、平面都不垂直 2.在四边形中，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的是（ ） A.平面平面 B.平面平面 C.平面平面 D.平面平面 考点三 ： 线面、面面垂直的综合应用 【典例5】设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题： ①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α； ③若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β；④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β． 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【典例6】如图所示，在中，，，，在边上任取一点，并将沿直线折起，使平面平面，则折叠后、两点间距离的最小值为__________． 【变式探究】 1.如图，四面体中，是边长为1的正三角形，是直角三角形，，. (1)证明：平面平面； (2)若点为的中点，求点到平面的距离. 2.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA1，E是A1C的中点． （1）若P为AB的中点，证明：DE∥平面PBA1． （2）若平面PDA1⊥平面PDA，且DE⊥平面CBA1，求四棱锥A1﹣PBCD的体积． 考点四： 平行、垂直的综合应用 【典例7】如图，