§2.1 复数-2020-2021学年高二数学下学期期末考试迅速提分复习方案（江苏专用）

§2.1　 复数 一、【知识梳理】 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． 一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0. (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模： 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i (c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [常用结论] (1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)； i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． (4)共轭与模是复数的重要性质，运算性质有： (1)；(2)；(3)；(4)； (5)；(6). ***数的三角形式、运算及其几何意义 1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 2．复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)= r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] (2)＝ ＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 二、【典例剖析】 考点一 ：复数的有关概念与性质 【典例1】若复数，则下列结论正确的是（ ） A． B．的虚部为 C． D． 【典例2】已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ） A．1 B．–1 C．2 D．–2 【典例3】已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____. 【变式探究】 1.设z=i(2+i)，则=（ ） A．1+2i B．–1+2i C．1–2i D．–1–2i 2.设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（ ） A． B． C． D．2 考点二 ：复数的几何意义 【典例4】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）． A． B． C． D． 【典例5】设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ） A． B． C． D． 【变式探究】 1.若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ） A．（–∞，1） B．（–∞，–1） C．（1，+∞） D．（–1，+∞） 2．设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点三：复数的四则运算 【典例6】（ ） A．1 B．−1 C．i D．−i 【典例7】若，则（ ） A． B． C． D． 【变式探究】 1. （ ） A． B． C． D． 2. ______. 考点四：数的三角形式、运算及其几何意义** 【典例8】把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)＋i； (