浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题（图片版）

$ 2020学年第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学 高二年级数学学科参考答案 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1 2 3 4 5 6 7 8 9[来源:Zxxk.Com] 10 C B C B A D A D B B[来源:学科网ZXXK] 二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题 分，共36分. ） 11． ； 12． ； 13． ； 14． ； 15．64 16． 17． 三、解答题：（本大题共5小题，共74分. ） 18．解： （1） ， ， ………………………6分 （2）猜想 ………………………8分 下面用数学归纳法证明 ． ①当 时， ．等式成立 ②假设 时，等式也成立，即 ． 则 时， ． 由数列 为正项数列，所以 ，即 时也成立 由①②知等式 成立.………………………14分 19．解：[来源:学.科.网] （1）取 的中点G，连接 . 分别为 与 的中点， 四边形 为平行四边形， ………………………4分 EMBED Equation.DSMT4 平面 ；………………………6分 （2） EMBED Equation.DSMT4 与平面 所成角即 与平面 所成角. 过点 作 交 于点 ，连接 , . 为等腰直角三角形， 为 的中点， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 四边形 为菱形，且 ， 由 可得 . . ， ， 平面 , 平面 ， 平面 平面 ， 为 与平面 所成角.………………………10分 , 直线 与平面 所成角的正弦值为 .………………………15分 （其他解法酌情给分） 20．解： （1） ，所以圆方程为 .………………………5分 （2）（i）当 时， ，此时直线 的方程为 . , EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.DSMT4 ………………………8分 （ii） 下面证明： .设 则 直线 的方程为： ，即 证 即 将 代入可得： 化简得到：左边 右边. 故 成立.………………………15分 （其他解法酌情给分） 21．解析： （1） ，………………………2分 当 时， ，所以 在 上单调递增；………………………4分 当 时，令 ， . 时， ， 时， . 所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.………………………7分 （2） 即 ，令 ， 由（1）可得： 的最小值为 . 所以 ， .………………………10分 令 .易得 在 上单调递减， 有 ，故 在 上存在唯一的零点 ， . 在 上单调递增，在 上单调递减.所以 . 所以 ，所以 ，得证.………………………15分 （其他解法酌情给分） 22．解：[来源:Z_xx_k.Com] （1）设直线 方程为 ，以及点 ， [来源:学§科§网] 联立抛物线与直线 方程得 ，则 …………………2分 因为 为线段 的中点，所以 . ………………………5分 （2）设点 ，由 由得到 ， ………………………7分 分别带入抛物线C方程，整理得 将上述两式相减得，或者将 看作上述方程的两个根： 得 即 在定直线 上运动。………………………10分 定点A到动点B的距离 ，此时 ， 联立 得 ………………………12分 ， 显然有 ，所以 ………………………15分 （其他解法酌情给分） $