专题06：十年高考真题解答题第21题赏析-备战2021年高考数学（文）高分冲刺压轴专题

专题06：全国卷数学（文科）十年高考真题解答题第21题赏析（解析版） 1．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【答案】（1） ；（2）证明详见解析. 【分析】 （1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，问题得解. （2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，当 时，可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： 即可知直线过定点 ，当 时，直线 ： ，直线过点 ，命题得证. 【详解】 （1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程 可得： ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 椭圆方程为： （2）证明：设 ， 则直线 的方程为： ，即： 联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得： ，解得： 或 将 代入直线 可得： 所以点 的坐标为 . 同理可得：点 的坐标为 当 时， 直线 的方程为： ， 整理可得： 整理得： 所以直线 过定点 ． 当 时，直线 ： ，直线过点 ． 故直线CD过定点 ． 【点睛】 本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题. 2．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 已知函数f（x）=2lnx+1． （1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围； （2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性． 【答案】（1） ；（2） 在区间 和 上单调递减，没有递增区间 【分析】 （1）不等式 转化为 ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可； （2）对函数 求导，把导函数 的分子构成一个新函数 ，再求导得到 ，根据 的正负，判断 的单调性，进而确定 的正负性，最后求出函数 的单调性. 【详解】 （1）函数 的定义域为： ， 设 ，则有 ， 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增， 所以当 时，函数 有最大值， 即 ， 要想不等式 在 上恒成立， 只需 ； （2） 且 因此 ，设 ， 则有 ， 当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即 ，所以 单调递减； 当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，即 ，所以 单调递减， 所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间. 【点睛】 本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题. 3．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切． （1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径． （2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． 【答案】（1） 或 ； （2）见解析. 【分析】 （1）设 ， ，根据 ，可知 ；由圆的性质可知圆心 必在直线 上，可设圆心 ；利用圆心到 的距离为半径和 构造方程，从而解出 ；（2）当直线 斜率存在时，设 方程为： ，由圆的性质可知圆心 必在直线 上；假设圆心坐标，利用圆心到 的距离为半径和 构造方程，解出 坐标，可知 轨迹为抛物线；利用抛物线定义可知 为抛物线焦点，且定值为 ；当直线 斜率不存在时，求解出 坐标，验证此时 依然满足定值，从而可得到结论. 【详解】 （1） 在直线 上 设 ，则 又 ，解得： 过点 ， 圆心 必在直线 上 设 ，圆的半径为 与 相切 又 ，即 ，解得： 或 当 时， ；当 时， 的半径为： 或 （2）存在定点 ，使得 说明如下： ， 关于原点对称且 直线 必为过原点 的直线，且 ①当直线 斜率存在时，设 方程为： 则 的圆心 必在直线 上 设 ， 的半径为 与 相切 又 ，整理可得： 即 点轨迹方程为： ，准线方程为： ，焦点 ，即抛物线上点到 的距离 EMBED Equation.DSMT4 当 与 重合，即 点坐标为 时， ②当直线 斜率不存在时，则直线 方程为： 在 轴上，设 ，解得： ，即 若 ，则 综上所述，存在定点 ，使得 为定值. 【点睛】 本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解. 4．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 已