专题05：十年高考真题填空题第16题赏析-备战2021年高考数学（文）高分冲刺压轴专题

专题05：全国卷数学（文科）十年高考真题填空题第16题赏析（解析版） 1．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 数列 满足 ，前16项和为540，则 ______________. 【答案】 【分析】 对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 方程，求解即可得出结论. 【详解】 ， 当 为奇数时， ；当 为偶数时， . 设数列 的前 项和为 ， ， . 故答案为： . 【点睛】 本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题. 2．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ① ② ③ ④ 【答案】①③④ 【分析】 利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假；利用异面直线可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】 对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ； 若 与 相交，则交点 在平面 内， 同理， 与 的交点 也在平面 内， 所以， ，即 ，命题 为真命题； 对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题 为假命题； 对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题 为假命题； 对于命题 ，若直线 平面 ， 则 垂直于平面 内所有直线， 直线 平面 ， 直线 直线 ， 命题 为真命题. 综上可知，，为真命题，，为假命题， 为真命题， 为假命题， 为真命题， 为真命题. 故答案为：①③④. 【点睛】 本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题. 3．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 ，那么P到平面ABC的距离为___________． 【答案】 . 【分析】 本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到 在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决． 【详解】 作 分别垂直于 ， 平面 ，连 ， 知 ， ， 平面 ， 平面 ， ， ． ， ， ， 为 平分线， ，又 ， ． 【点睛】 画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍． 4．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 学生到工厂劳动实践，利用 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 挖去四棱锥 后所得的几何体，其中 为长方体的中心， 分别为所在棱的中点， ， 打印所用原料密度为 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________ . 【答案】118．8 【分析】 根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量. 【详解】 由题意得， ， 四棱锥O−EFG的高3cm， ∴ ． 又长方体 的体积为 ， 所以该模型体积为 ， 其质量为 ． 【点睛】 本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解． 5．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷） △ 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则△ 的面积为________． 【答案】 . 【分析】 首先利用正弦定理将题中的式子化为 ，化简求得 ，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到 ，可以断定 为锐角，从而求得 ，进一步求得 ，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】 因为 ， 结合正弦定理可得 ， 可得 ，因为 ， 结合余弦定理 ，可得 ， 所以 为锐角，且 ，从而求得 ， 所以 的面积为 ，故答案是 . 【点睛】 本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 、 、 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 6．2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II） 已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为 ，若 的面积为 ，则该圆锥的体积为__________． 【答案】8π 【详解】 分析：作出示意图