专题03：解答题压轴题考前押题-备战2021年高考数学（文）高分冲刺压轴专题

专题03：高考数学全国卷（文科）解答题压轴题考前押题（解析版） 高考数学压轴题分析方法之压轴题的特点 1、综合性强，突出数学思想方法的运用。 2、高观点性，与高等数学知识接轨。 3、交汇性，强调各个数学分支的交汇。 4、结论或条件比较新颖 近10年全国I卷，10道文科压轴题中7道考查函数与导数。3道考察圆锥曲线。 “函数与导数”以其极强的综合性强，灵活多变的解法，屡屡承载压轴使命．也因此成为了高考数学是否可以达到140+的关键因素。而圆锥曲线由于计算量较大也成为了文科高考的首选。 压轴题为什么难？难在题设条件多而杂，你能在第一遍审题的过程中就找到全部的条件？又能不能在看到条件的那一刻就反映出可能的做法？下面我们来对各个题型进行分析： 导数 函数的极值点问题 1．已知函数 ． （1）讨论 极值点的个数； （2）若 是 的一个极值点，且 ，证明：f(x0 ≤1)． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）对a进行分类讨论，利用函数的单调性求极值； （2）先判断 是 的一个极值点时， ，把 整理出关于a的函数，利用导数判断单调性，证明 . 【详解】 （1）解： 的定义域为R， ， 若 ，则 ，所以当 时， ；当 时， ， 所以 在 上递减，在 上递增， 所以 为 唯一的极小值点，无极大值点，故此时 有1个极值点． 若 ，令 ，则 ， 当 时， ，则当 时， ；当 时， ； 当 时， ． 所以 分别为 的极大值点和极小值点，故此时 有2个极值点． 当 时， 且不恒为0，此时 在R上单调递增，无极值点． 当 时， ， 则当 时， ；当 时， ；当 时， ． 同理， 分别为 的极小值点和极大值点，故此时 有2个极值点． 综上，当 时， 无极值点；当 时， 有1个极值点；当 或 时， 有2个极值点． （2）证明：若 是 的一个极值点，由（1）可知 ， 又 ，所以 ，且 ， 则 ，所以 ， 令 ，则 ，所以 ， 故 ， 又因为 ，所以 ，令 ，得 ． 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减． 所以 是 唯一的极大值点也是最大值点，即 ， 故 ，即 ． 【点睛】 （1）求极值需研究函数的单调性； （2）利用导数证明不等式的本质是利用导数判断单调性，利用单调性比较大小. 2．已知函数 ( 为常数). （1）讨论函数 的单调区间； （2）当 时，设 的两个极值点 ， ，求 的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）最小值为 . 【分析】 （1）先求解出 ，然后分类讨论 与 的大小关系，由此确定出 的单调区间； （2）根据 是 的两个极值点可求得 的值，再利用 的值将 化简成 ，然后通过构造新函数 并分析其定义域结合单调性求解出其值域，则 的取值范围可求. 【详解】 解：（1） ， ， 当 ，由 ，解得 ，即当 时， ， 单调递增； 由 解得 ，即当 时， ， 单调递减； 当 时， ，即 在 上单调递增； 当 时， ，故 ，即 在 上单调递增. 综上：当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 . （2）由题意得 ， 为 的两个零点， 由（1）得 ， 故 设 ，由 且 得 ， 则 ，得 . 在 上单调递减，故 . 故 最小值为 . 【点睛】 思路点睛：导数中求解双变量问题的一般步骤： （1）先根据已知条件确定出变量 满足的条件； （2）将待求的问题转化为关于 的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及 的式子转化为关于 的式子，将问题转化为关于自变量 （ 亦可）的函数问题；②通过 的乘积关系，用 表示 （用 表示 亦可），将双变量问题替换为 （或 ）的单变量问题； （3）构造关于 或 的新函数，同时根据已知条件确定出 或 的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解. 函数的零点问题： 3．已知函数 . （1）求函数 的单调递增区间； （2）若关于x的方程 在区间 内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间是 ；（2） . 【分析】 （1）求导函数，令导函数大于零，解不等式得解. （2）构造新函数，判断新函数的单调性，由单调性建立符合满足题设的不等式，进而可得参数范围. 【详解】 （1）函数 在定义域是 . 因为 ， 令 ，又 ，得 ， 所以函数 的单调递增区间是 （2）由 ，得 令 则 由 ，得 ， 由 ，得 ， 所以函数 在 内单调递减，在 内单调递增， 由题可知方程 在区间 内恰有2个相异的实根， 则 ，即 ， 由 解得 ， 综上所述，实数a取值范围是 . 【点睛】 思路点睛：方程根的个数转化为函数单调性探究，以及最值的符号讨论. 4．已知函数 ， . （1）若 在 上为单调递减函数，