考点05 立体几何初步（一）-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（苏教版2019）

考点05 立体几何初步（一） 一、单选题 1．（2021·武威第六中学高三其他模拟（理））关于直线、与平面、，有以下四个命题： ①若，且，则； ②若，且，则； ③若，且，则； ④若，且，则. 其中真命题的序号是（ ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】 根据①②③④中的已知条件判断直线、的位置关系，可判断①②③④的正误. 【详解】 对于①，若，且，则与平行、相交或异面，①错误； 对于②，如下图所示： 设，因为，在平面内作直线，由面面垂直的性质定理可知， ，，，，，因此，，②正确； 对于③，若，，则， 因为，过直线作平面使得，由线面平行的性质定理可得， ，，则，因此，③正确； 对于④，若，且，则与平行、相交或异面，④错误. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳． 2．（2021·浙江高一期末）在正四棱锥中，面于，，底面的边长为，点分别在线段上移动，则两点的最短的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 若两点间距离最短，则为公垂线段；易证得平面，则可作，可知即为所求公垂线段，利用面积桥的方式可求得，即为所求最短距离. 【详解】 在上移动，则当为公垂线段时，两点的距离最小； 四棱锥为正四棱锥，平面，为正方形的中心， ，又，，平面， 过作，垂足为， 平面，，为的公垂线， 又，两点的最短的距离为. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题考查立体几何中两点间距离最值的求解，解题关键是能够根据两点在两一面直线上移动，确定两异面直线之间的公垂线段即为所求最短距离. 3．（2021·四川绵阳市·高三三模（理））已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由圆锥侧面展开图求得圆锥的母线和底面半径，作出圆锥的轴截面，其外接圆是球的大圆，由图形求得球半径，从而可得球表面积． 【详解】 设圆锥母线为，底面半径为， 则，解得， 如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，设球半径为， ，， ，， 所以球表面积为． 故选：A． 【点睛】 方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径．在球圆锥或圆柱、圆台问题中可以作出圆柱（圆锥，圆台）的轴截面，轴截面的外接圆为球的大圆，由此建立了球半径与圆柱（圆锥圆台）的量之间的关系． 4．（2021·云南高三二模（理））已知边长为的正的顶点和点都在球的球面上.若，且平面，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由正三角形边长可确定其外接圆半径，由外接球的性质可知球的半径，利用球的表面积公式可求得结果. 【详解】 由题意知：球为三棱锥的外接球， 为边长为的正三角形，的外接圆半径， 又平面，，球的半径， 球的表面积. 故选：B. 5．（2021·全国高一课时练习）如图，长方体被两平面分成三部分，其中，则这三个几何体中是棱柱的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】 根据棱柱的定义判断即可. 【详解】 长方体被两平面分成三部分，其中， 其中两个三棱柱，底面是直角三角形； 另一个是底面为6边形的直棱柱， 所以这三个几何体中是棱柱的个数为：3. 故选：D． 6．（2021·全国高一课时练习）如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据斜二测画法原则，由直观图判断原图中的长度，再利用勾股定理计算. 【详解】 在直观图中，，， 由斜二侧画法知，在中，，，且； 所以． 故选：B. 7．（2021·全国高一课时练习）若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（ ） A．π B． C． D． 【答案】A 【分析】 设圆锥的底面圆半径为r，高为h，由题意可得4πr＝4rh，从而可得h＝π 【详解】 设圆锥的底面圆半径为r，高为h； 由圆锥的母线长为4， 所以圆锥的侧面积为πr•4＝4πr； 又圆锥的轴截面面积为•2r•h＝rh， 所以4πr＝4rh， 解得h＝π； 所以该圆锥的高为π． 故选：A． 8．（2021·全国高一课时练习）水平桌面上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放1个半径为的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 五个球心构成一