专题09 导数与函数的极值（重难点突破）-【教育机构专用】2021年春季高二数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题09 导数与函数的极值 【重难点知识点网络】： 1．函数极值的概念 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧________，右侧________，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧________，右侧________，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 必要条件：可导函数在处取得极值的必要条件是________． 充分条件：可导函数在处取得极值的充分条件是在两侧异号． 3．函数极值的求法 一般地，求函数的极值的方法是： 解方程．当时： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是________； （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是_________． 【重难点题型突破】： 一、求函数的极值 （1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． （2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x值的大小入手）． 例1．（1）（2021·辽宁高三其他模拟）（多选题）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有两个不同零点 D．有两个极值点 【答案】AD 【分析】 根据时，解析式，利用导数求得其单调递减区间，根据的奇偶性即可判定A、B的正误；在同一坐标系种画出与的图象，数形结合，即可判定C的正误；根据的图象，即可判定D的正误，即可得答案. 【详解】 当时，,令得, 时,,所以在区间上单调递减, 再根据奇函数知在区间上单调递减，故A正确; 因为,所以在区间单调递减，故B错误; 因为又为奇函数，所以, 如图与有两个交点,则-且,故C错误; 函数的两个极值点为土，故D正确. 故选：AD 【点睛】 解题的关键是熟练掌握利用导数判断函数的单调性，函数奇偶性的应用等知识，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题. （2）．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()有两个极值点､()，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求得，设，根据题意，转化为在内有两个不等的实数根､，利用二次函数的性质，求得，结合二次函数根与系数关系和二次函数的性质，即可求解. 【详解】 由题意，函数，可得函数的定义域为， 且， 设， 因为函数()有两个极值点､()， 即在内有两个不等的实数根､()， 可得，解得， 又因为､，可得， 则 ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. （3）．（2021·吴县中学高二月考）函数的极大值为（ ） A．18 B．21 C．26 D．28 【答案】D 【分析】 求导，利用导数研究函数的单调区间，确定在哪个点取得极值，进而得到答案. 【详解】 函数的定义域为，求导，令，解得：， 极大值 极小值 所以当时，函数有极大值 故选：D. （4）．已知，则（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值 【答案】C 【分析】 求出导函数，根据导函数的正负，导函数的零点判断各选项． 【详解】 由题意，当时，，递增，时，，　递减，是函数的极大值，也是最大值，函数无极小值． 故选：C． 【变式训练1-1】、（2021·吴县中学高二月考）（多选题）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ） A．是函数的极值点 B．函数在处取得极小值 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零 【答案】AB 【分析】 根据导数的知识对选项逐一分析，由此确定选项. 【详解】 对于A选项，由图可知，左右两侧导数都为负数，故不是的极值点，A选项错误. 对于B选项，由图可知，左右两侧导数都为负数，故不是的极值点，B选项错误. 对于C选项，由图可知，时，递减，所以C选项正确. 对于D选项，由图可知，，所以D选项正确. 故选：AB. 【变式训练2-1】、（2021·全国高三其他模拟）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．是的极大值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正实数，使得恒成立 D．对任意两个正实数，，且，若，则 【答案】BD 【分析】 对于A，利用导数研究函数的极值点即可； 对于B，利用导数判断函数的单调性，再利用零点存在性定理即得结论； 对于C，参变分离得到，构造函数，利用导数判断函数的最小值的情况； 对于D，利用的单调性，由得到