考点03 余弦定理、正弦定理的应用-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（苏教版2019）

考点03 余弦定理、正弦定理的应用 一、单选题 1．（2021·四川成都市·树德中学高一月考）已知的内角、及其对边、满足，则为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】 由正弦定理可得，然后可得，然后可得出答案. 【详解】 因为 所以由正弦定理可得，即 所以，即 所以或 所以或 因为、是三角形的内角，所以，所以是直角三角形 故选：B 2．（2021·江苏高一期中）甲，乙两楼相距，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则下列说法正确的有（ ） A．甲楼的高度为 B．甲楼的高度为 C．乙楼的高度为 D．乙楼的高度为 【答案】C 【分析】 根据题意画出示意图，把有关条件正确表示，解三角形求出甲、乙两楼的高度.0 【详解】 如图示， 在中，∠ABD=60°，BD=20m， ∴，即甲楼的高度为40m. 在中，设， 由余弦定理得：，即 解得： 则乙楼的高度分别为. 故选：C 【点睛】 数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键． 3．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）甲船在处，乙船在甲船北偏东方向的处，甲船沿北偏东方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 在中，由正弦定理求得，进而得到，即可求得的范围. 【详解】 设甲船与乙船的相遇点为，据题意，，. 在中，由正弦定理，有，则， 所以. 因为，， 则，所以. 故选：A. 4．（2021·浙江高三其他模拟）如图，是外一点，若，，，，，则（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】 由得，在中结合正余弦定理求解即可． 【详解】 由得．在中，由余弦定理得， 所以，则．因为，所以．在中，， 所以由正弦定理得， 故选：C． 【点睛】 方法点睛：用正、余弦定理解决平面多边形问题时，应把多边形分割为多个三角形，通过各个三角形之间的关系解决问题． 5．（2021·广东湛江市·高二期末）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达B处，此时测得俯角为．已知小车的速度是，且，则此山的高（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意作图可得，，设，在，中 求出，，在中，由余弦定理列方程即可求解. 【详解】 由题意可知：平面，，， ， 设，在中，，，所以， 在中，，，所以， 在中，由余弦定理可得：， 所以，即，解得：， 所以山的高， 故选：A. 6．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））中，已知，，，且的面积为，则边上的高等于（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】 根据面积公式，可求得，根据余弦定理，可求得，根据题意，可求得a，c的值，根据三角函数定义，即可求得答案. 【详解】 如图所示，设，AB边上高为h， 由面积公式得， 所以， 又， 所以，又因为，即， 所以， 所以. 故选：A 7．（2021·涡阳县育萃高级中学高二月考（理））在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角的角平分线交于点，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角的值，由可得出，结合可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值. 【详解】 ，由正弦定理可得，可得， 由余弦定理可得：，，所以， 由，有，得， 所以，，，， 由余弦定理可得. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 二、多选题 8．（2021·浙江高一期末）在中，角所对的边分别为的面积为S，若，则（ ） A． B．的最大值为1 C．的最大值为 D． 【答案】ABC 【分析】 由面积公式可得，再由正弦定理化简即可判断A；由根据可判断B；利用余弦定理可得，进而得出可判断C；由