专练14（解答题-不等式）（20题）-2021年高考数学（文）考点必杀300题（课标地区专用）

专练14（解答题-不等式）（20题）-2021年高考数学考点必杀300题 （全国卷文科） 1．（2021·四川成都市·高三月考（文））已知函数． （1）解不等式； （2）若的最小值为，且正实数，满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用零点分界法去绝对值即可求解. （2）由（1）求出，即，再将式子展开可得，再利用基本不等式可得，代入式子即可求解. 【详解】 解：（1）由， 当，由 当，由（舍） 当，由 综上：或，即不等式的解集为 （2）由（1）当时，， 当时，， 当时，，所以， 即，则， 由 由, 当且仅当时取等号， 当时，原式取最小值为. 2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数(，，均为正实数). （1）当时，求的最小值； （2）当的最小值为3时，求的最小值. 【答案】（1）最小值是；（2）最小值是. 【分析】 （1）当时，利用绝对值三角不等式即可求解； （2）利用绝对值三角不等式可得的最小值，再利用柯西不等式即可求最值. 【详解】 （1）当时， 易得. （2）由绝对值三角不等式可得：， 均为正实数， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 的最小值是. 3．（2021·河南高三月考（文））已知函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若关于的不等式有解，求的取位范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）由绝对值的定义，求得不等式的解集，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）由转化为有解，令，得到，结合分段函数的性质，求得函数的最小值，即可求解. 【详解】 （1）由，可得，可得，解得， 因为的解集为，所以，解得． （2）由题意，可得， 所以有解等价于有解． 令，则， 因为， 当时，，所以， 即的取值范围是． 4．（2021·云南昆明市·高三二模（文））已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若，，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）应用零点分段法，讨论的范围并写出对应区间的解析式，进而分区间列不等式组求解集，最后取并即可. （2）由题设得在上能成立，只需即可求参数范围. 【详解】 解：（1）由绝对值函数式，可得， ∴由，得或或，解得， ∴不等式的解集为. （2）当时，，若存在，，即，则， ∴只需，. ∵，当且仅当，即时取等号， ∴，故， 的取值范围为. 【点睛】 关键点点睛： （1）应用零点分段法写出分段函数的形式，结合函数不等式分区间求解集. （2）应用参变分离法，将问题转化为在上能成立，只需保证即可，结合三元基本不等式求最小值. 5．（2021·甘肃高三二模（文））已知函数，. （1）求函数的图象与直线围成区域的面积； （2）若对于，，且时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）作出函数的图象与直线，得到围成的区域是，根据三角形的面积公式计算可得结果； （2）根据基本不等式求出的最大值，将恒成立转化为最大值可得，再分类讨论去绝对值可求出结果. 【详解】 （1）由与围成的区域是，如图所示， 其中，，，所以，到直线的距离为3， 故所求面积为. （2）因为，，且，所以，即， 若不等式恒成立，则有， 即，解不等式， 可得或或，解之得或， 所以实数的取值范围为. 【点睛】 结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则. 6．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数 （1）解不等式； （2）若为正实数，函数的最小值为，已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2）最小值为3. 【分析】 （1）根据零点分段法讨论进行求解，然后取并集即可； （2）根据（1）中的条件，可得的值，然后利用基本不等式求解即可． 【详解】 （1） 的解集为； （2）由（1）可知的最小值为， 则，又， 当且仅当时取等，所以最小值为3． 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 7．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））已知函数． （1）画出的图象； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】 （1）利用零点分段法，取绝对值，得到分段函数，再画出函数的图象；（2）画出函数与在同一坐标系下的图象，根据图象求解不等式的解集. 【详解】 当时，， 当时，， 当时，， 即 如图，画出函数的图