专练12（解答题-导数）（20题）-2021年高考数学（文）考点必杀300题（课标地区专用）

专练12（解答题-导数）（20题）-2021年高考数学考点必杀300题（全国卷文科） 1．（2020·山东高三其他模拟）已知函数. （1）讨论的单调性. （2）当时，若无最小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）. 【分析】 （1）对求导，然后对分类讨论分别得出所对应的的取值范围即为函数的单调增区间，所对应的的取值范围即为函数的单调减区间． （2）结合（1）中的单调性结论对函数的最小值进行讨论.对于第四种情况，得出关于的不等式后，需要构造新的函数分析求解. 【详解】 解： （1）因为，所以. 令，得或. ①当时，由，得；由，得. 则在上单调递减，在上单调递增； ②当时，由，得或；由，得. 则在上单调递减，在和上单调递增. ③当时，恒成立，则在上单调递增. ④当时，由，得或；由，得. 则在上单调递减，在和上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. （2）①当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 则有最小值，故不符合题意. ②当时，由（1）可知在上单调递减，在和上单调递增，因为无最小值，所以，即，解得； ③当时，由（1）可知在上单调递增， 所以无最小值，所以符合题意； ④当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增. 因为无最小值，所以，即，即. 设，则 设，则在上恒成立. 故在上单调递增，即在上单调递增. 因为，所以存在唯一的，使得. 故在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以在上恒成立， 即在恒成立，即符合题意. 综上，实数a的取值范围为. 【点睛】 本题主要考查分类讨论思想，首先利用函数求导公式对函数求导，然后再利用导函数大于0或者小于0讨论函数单调性，分类时一般利用有无解对参数进行分类． 常见注意点如下： （1）对二次项系数的符号进行讨论； （2）导函数是否有零点进行讨论； （3）导函数中零点的大小进行讨论； （4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等. 2．（2021·河南高三二模（文））已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若极大值大于2，求的取值范围.· 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】 （1）先对函数求导得到，导函数的正负跟的取值有关系，所以要对的取值进行分类讨论，进而求出函数的单调递增区间. 由（1）知，和时，无极大值，不成立．再分析当时，极大值， 又，求解得a的取值范围；当时，极大值，得，求解得a的取值范围，最后两种情况取并集即可. 【详解】 （1）求导, 当时，令，，解得： ， 所以的单调递增区间为，递减区间为 当时，令，解得：或 ， 所以的单调递增区间为和，的单调减区间为 当时，上恒成立，所以的单调递增区间为；无递减区间 当时，令，解得：或， 所以的单调递增区间为和，的单调减区间为. 综上：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为和； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为和； （2）由（1）知，当和时，无极大值，不成立 当时，函数的极大值为，解得， 由于，所以． 当时，函数的极大值为，得， 令，则，， 在取得极大值，且. 因为，所以，而在单增，所以，解为，则. 综上. 【点睛】 方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 3．（2020·全国高三其他模拟（文））已知函数． （1）求函数的极值； （2）当时，若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】 （1）首先求得，接着分，，讨论函数的单调性，分析得到函数的极值． （2）对函数，求导得到，接着分，， 讨论的单调性，再根据零点存在定理进行数形结合，得到关于实数的不等式组，得到实数的取值范围. 【详解】 解：（1）由题意得． 当时在上单调递减，在上单调递增，所 以在处取得极小值，无极大值 当时，无极值； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值． 综上，当时有极小值，无极大值；当时无极值； 当时有极大值，无极小值． （2）由题意，得， ． ①若，即，则当时，，所以单调递增，至多有一个零点，不符合题意． ②若，即， 则当和时， ，单调递增；当时，， 单调递减．故要使有三个零点，需有成立． 由，得，与矛盾， 所以不可能有三个零点，不符合题意． ③若，即，则当和时，，单调递增； 当时，．单调递减． 故要使有三个零点，需有成立． 由，得 由及，得， 所以． 当时，，