专练11（解答题-圆锥曲线）（20题）-2021年高考数学（文）考点必杀300题（课标地区专用）

专练11（解答题-圆锥曲线）（20题）-2021年高考数学考点必杀300题（全国卷文科） 1．（2021·全国高三其他模拟）已知椭圆：的焦距为2，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆相切于点，与抛物线的准线相交于点，若点为平面内一点，且，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）根据椭圆的方程及性质求得椭圆的方程； （2）设直线方程并与椭圆联解，求出M的坐标，以及求出直线与抛物线的准线交点坐标，设点 ，根据求出点的坐标． 【详解】 本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、抛物线的性质的综合应用． （1）由题得解得 所以椭圆的方程为． （2）根据题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立 消去并整理得． 由， 得， 所以，，即． 因为抛物线的准线方程为， 所以当时，，所以． 设点，因为，所以， 所以， 即， 当即，时，方程（*）恒成立， 所以点的坐标为． 【点睛】 椭圆中的基本量满足，应避免与双曲线中基本量的关系混淆，此条件是隐含条件，也是解题的关键 2．（2021·辽宁高三二模（文））已知椭圆的右焦点为，、分别为椭圆的左顶点和上顶点，的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于点、．证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）根据已知条件可得出关于、的方程，解出、的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，设点、，将直线与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点、的坐标，计算得出，由此可证得结论成立. 【详解】 （1）由题意可知，，，则， 所以，，解得， 因此，椭圆的标准方程为； （2）若直线与轴重合，则、重合，不合乎题意. 椭圆的右焦点为，设直线的方程为，设点、， 联立，消去并整理得， 恒成立， 由韦达定理可得，， 直线的斜率为， 直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 同理可知，点， 所以，，， 所以， ， 因此，. 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 3．（2021·全国高三专题练习（文））已知椭圆与的离心率相同，过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆、的交点从上到下依次为、、、，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）设椭圆的方程为，焦距为，根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出、的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设、、、，将直线的方程分别与椭圆、联立，列出韦达定理，分析得出，可得出关于实数的等式，进而可解得实数的值. 【详解】 （1）设椭圆的方程为，焦距为， 将代入的方程可得，解得. 由题意得，解得，因此的方程为； （2）设、、、， 由，得（或）， 与、相交，只需当时，， 解得. 当时，， 由韦达定理可得，所以，与的中点相同， 所以，， 即， 整理可得，解得，满足条件. 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 4．（2021·河南平顶山市·高三二模（文））已知椭圆（）的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，A在第一象限，且. （1）求椭圆的方程； （2）若过点的任一直线与椭圆交于两点、.证明：在轴上存在点，使得为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由离心率可得，联立直线与椭圆可得，再由即可求出，得出方程； （2）直线不与轴重合时，设，联立直线与椭圆方程，设，，，利用韦达定理可得，再由可求出. 【详解】 解：（1）由得，设椭圆方程为， 联立方程组得.则， 所以. 所以. 所以椭圆的方程为. （2）证明：当直线不与轴重合时，设， 联立方程组得. 设，，，则有，. 于是 ， 若为定值，则有，得，. 此时； 当直线与轴重合时，，， 也有. 综上，存在点，满足. 【点睛】 方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 5．（2021·甘肃兰州市·高三其他模拟（文））已知抛物线及点. （1）以抛物线焦点为圆心，为半径作圆，求圆