专练09（解答题-立体几何）（20题）-2021年高考数学（文）考点必杀300题（课标地区专用）

专练09（解答题-立体几何）（20题）-2021年高考数学考点必杀300题（全国卷文科） 1．（2021·全国高三月考（文））如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，，，. （1）求证：； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）取的中点，要证，只需证； （2）用等体积法（）求点面距. 【详解】 （1）取的中点，连接，.，为的中点，， ，，四边形为平行四边形， ，，， ，，. 又，平面. 平面，. 又为的中点，所以. （2）平面平面，平面平面，， 平面，. . . ， 设点到平面的距离为， 则由，得， . 即点到平面的距离为. 【点睛】 思路点睛：立体几何中，用等体积法求点面距是一种很常见的方法. 2．（2021·四川绵阳市·高三三模（文））如图，四棱锥中，，，，平面平面，点为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）取的中点，连接，，再根据点为的中点，易证四边形为平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理证明； （2）易证平面，进而得到平面平面，再由，得到平面，由求解. 【详解】 （1）证明：取的中点，连接，. 点为的中点， ，且. 又，， ，且， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面. （2）， ， 又，平面， . 又平面平面，平面平面， 平面，为四棱锥的高， ， . 【点睛】 方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 3．（2021·全国高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点. 证明：（1）； （2）平面； （3）平面平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. （1）计算出，可证得结论成立； （2）证明出与平面的法向量垂直，结合平面可证得结论成立； （3）证明出平面和平面的法向量垂直，可证得结论成立. 【详解】 因为底面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系. 可得、、、，由为的中点，得. （1）向量，，故，所以，； （2）因为平面，平面，， ，，平面， 所以向量为平面的一个法向量， 而，所以， 又因为平面，所以平面； （3）由（2）知平面的一个法向量为， 向量，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得平面的一个法向量为， ，，所以，平面平面. 【点睛】 方法点睛：利用空间向量法证明面面垂直有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理，将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直； 二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直得面面垂直. 4．（2021·辽宁高三二模（文））已知等腰直角，，点，分别为边，的中点，沿将折起，得到四棱锥，平面平面. （Ⅰ）过点的平面平面，平面与棱锥的面相交，在图中画出交线；设平面与棱交于点，写出的值（不必说出画法和求值理由）； （Ⅱ）求证：平面平面. 【答案】（Ⅰ）图形见解析，1；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】 （Ⅰ）过作交于，由中位线性质证为平行四边形即可知为的中点，由平面平面，过作交于，即知为的中点，即可得. （Ⅱ）由题设易证，，两两互相垂直，构建以为原点，分别以射线，、的方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，并确定，，，进而求面，面的法向量，根据法向量的夹角即可证面面. 【详解】 （Ⅰ）过作交于，由，分别为边，的中点，即， ∴为平行四边形，则为的中点，再过作交于， ∴在△中，为中位线，即为的中点，所得平面即为平面，如下图示， ∴由上，知：. （Ⅱ）由题设知：， 面面，面面，，面， 面，又，面， ，，又， ，，三条棱两两互相垂直. 以为原点，分别以射线，、的方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，， 设平面，平面的法向量分别为，， ，即，取，则， ，即，取，则， ， 平面平面. 【点睛】 关键点点睛：第二问，根据面面垂直的性质证线面垂直，进而确定线线垂直，进而构建空间直角坐标系，求出所证平面的法向量，根据法向量的夹角判断平面的关系. 5．（2021·吉林高三月考（文））如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为矩形，为的中点. （1）证明：平面平面. （2）平面分此棱锥为两部分，若，求大的部分体积与小的部分体积之比. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）先证明，，可得平面，