专练07（解答题-数列）（20题）-2021年高考数学（文）考点必杀300题（课标地区专用）

专练07（解答题-数列）（20题）-2021年高考数学考点必杀300题（全国卷文科） 1．（2021·辽宁高三二模（文））已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据求出，进一步求出． （2）化简，利用分组求和的方法求出答案. 【详解】 解：（1）设数列的公比为， 因为 于是， 解得或， 因为，所以， 所以． （2）由（1）可得，， . 2．（2021·北京石景山区·高三一模）已知有限数列共有30项，其中前20项成公差为的等差数列，后11项成公比为的等比数列，记数列的前n项和为．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： （1）的值； （2）数列中的最大项． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】答案见解析. 【分析】 （1）分别选择一个条件，利用等差、等比数列的通项公式以及前项和公式计算即可. （2）根据（1）所得到的数据，然后根据数列等差部分、等比部分的单调性简单判断即可. 【详解】 选择条件①： 解：（1）因为的前20项成等差数列，， 所以解得.所以. 因为数列后11项成公比为的等比数列，所以. 综上，. （2）的前20项成等差数列， . 所以前20项为递增数列.即：前20项的最大项为. 数列的后11项成等比数列，，所以后11项是递减数列. 即：后11项的最大项为 综上，数列的最大项为第20项，其值为40. 选择条件②： 解：（1）因为的前20项成等差数列，， 所以 所以 因为数列后11项成公比为的等比数列，，又因为， ，所以.综上，. （2）的前20项成等差数列， .所以前20项为递减数列. 前20项的最大项为.因为. i.当时，， 所以当时，. 此时，数列的最大项为第1项，其值为2； ⅱ.当时，， 后11项的最大项为. 此时，数列的最大项为第21项，其值为18 综上，当时，数列的最大项为第1项，其值为2； 当时，数列的最大项为第21项，其值为18. 选择条件③： 解：（1）因为数列后11项成公比为的等比数列，， 所以， 解得. 所以. 又因为的前20项成等差数列，， 所以. 综上，. （2）的前20项成等差数列， . 所以前20项为递减数列. 前20项的最大项为. 的后11项成等比数列，而，， ， 所以后11项为递增数列. 后11项的最大项为 综上，数列的最大项为第30项，其值为10240. 3．（2020·全国高三专题练习（文））已知正项数列满足，数列的前n项和为，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）化简式子可得，然后根据等差数列的定义进行证明. （2）根据与的关系可得，最后使用错位相减法求和可得结果. 【详解】 （1），. 数列是正项数列，，， 数列是等差数列. （2）①，当时，，解得， 当时，②， ①-②得， 数列是以3为首项，2为公比的等比数列，. 由（1）可知，，， 记③， 则④， ③-④得， ，. 4．（2021·全国高三专题练习（文））已知等差数列的前项和，满足. （1）求的值； （2）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）首先根据题意得到，，，再根据为等差数列，即可得到答案. （2）首先利用错位相减求和得到，再根据单调性求解即可. 【详解】 （1）由题意知，当时，， 当时，由，所以， 当时，由，所以， 因为为等差数列，所以，所以. （2）由（1）知，，则， ∴， ∴， 上式减下式得： ， ∴， ∵，∴是关于的增函数，即， 又易知，故. 5．（2021·全国高三专题练习（文））已知正项数列的前项和为，满足. （1）求证：是等差数列，并求； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【分析】 （1）由递推式求出，当时，由，可得，从而可得，由此得是以为首项､为公差的等差数列，从而可得其通项公式； （2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求出 【详解】 （1）当时，，解得， 当时，， 整理得， 又∵各项均为正，则，则， 则是以为首项､为公差的等差数列，； （2）， ， ， 两式相减得： ， ∴. 6．（2021·云南昆明市·高三二模（文））已知等差数列的前项和为，，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）设等差数列的公差为，由，且，利用“”求解． （2）由（1）易得，从而，再利用裂项相消法求解. 【详解】 （1）设等差数列的公差为， 因为，且．所以，解得， 所以数列的通项公式． （2），所以， 所以 ． 【点睛】 方法点睛：求