专练13（解答题-极坐标与参数方程）（20题）-2021年高考数学（理）考点必杀300题（课标地区专用）

专练13（解答题-极坐标与参数方程）（20题）-2021年高考数学考点必杀300题（全国卷理科） 1．（2021·全国高三专题练习（理））在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为． （1）求半圆的参数方程和直线的直角坐标方程； （2）直线与轴交于点，与轴交于点，点在半圆上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，的面积为，求的值． 【答案】（1）：（为参数，），：；（2） 【分析】 （1）消去参数得直线的普通方程，利用半圆的极坐标方程，写出直角坐标方程为，再写出半圆的参数方程； （2）由题意设，利用点到线的距离求出点到直线的距离，利用两点之间的距离求出，再由三角形的面积公式，结合同角之间的关系求出，即可求出的值． 【详解】 （1）半圆的参数方程为（其中为参数，）， 直线的直角坐标方程为. （2）由题意可知，可设，其中 所以点到直线的距离为： , 又，. 三角形的面积. ， 又，. 【点睛】 方法点睛：本题考查极坐标方程，直角坐标方程，参数方程的互化，极坐标与直角坐标方程的互化，即四个公式：，，考查学生的转化与化归能力，运算求解能力，属于中档题. 2．（2020·全国高三专题练习（理））在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）写出曲线的极坐标方程及直线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线的交点分别为，，点(异于，两点)在曲线上运动，求面积的最大值. 【答案】（1）曲线的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为；（2）. 【分析】 （1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后转化为极坐标方程；利用极坐标方程和直角坐标方程转化公式，求得直线的直角坐标方程. （2）先求得，然后根据圆的几何性质求得到直线的距离的最大值，由此求得三角形面积的最大值. 【详解】 （1）曲线的参数方程为(为参数)，两式平方并相加得，即. 直线的极坐标方程为，即， 即，即. （2）圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，直线和圆相交. 所以. 根据圆的几何性质可知到直线的距离的最大值为. 所以三角形面积的最大值为. 【点睛】 本小题主要考查参数方程、极坐标方程，考查直线和圆的位置关系，属于中档题. 3．（2021·河南高三一模（理））在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为. （1）求圆C的直角坐标方程； （2）设，若直线l与圆C相交于A，B两点，求的最大值. 【答案】（1）；（2）4. 【分析】 （1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，求得圆C的直角坐标方程； （2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系，求得的最大值. 【详解】 （1）圆C的极坐标方程为：，则 由极坐标与直角坐标的转化公式得， 所以：. （2）将线l的参数方程为：（t为参数）， 代入. 所以 设点A，B所对应的参数为和， 则，， 则 当时，的最大值为4. 【点睛】 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，直线参数方程的应用，属于中档题. 4．（2021·河南高三二模（文））在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线交于､两点，求面积的最大值. 【答案】（1）的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）最大值是. 【分析】 （ 1）将参数方程利用代入法消去参数可得直线的普通方程，利用，即可得曲线的直角坐标方程； （ 2）把直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程得，由参数的几何意义求出，再由到直线的距离求得三角形的高，进而求得的面积然后求最值即可. 【详解】 （1）将直线的参数方程(为参数，)中的参数消去， 得到直线的普通方程，为， 由曲线的极坐标方程，可得，又，，∴曲线的直角坐标方程为，即. （2）把直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程得：， 设､对应的参数分别为､，则，， 由参数的几何意义知： ， 又点到直线的距离， ∴的面积： ， 当，即时等号成立，故的面积的最大值是. 【点睛】 关键点点睛：本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化，关键是能够根据参数的几何意义将已知弦长用韦达定理的形式表示，再利用点到直线的距离表示三角形的高. 5．（2020·全国高三其他模拟（理））在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线的直角坐标方程，并说明曲线是什么曲线； （2）若关于点的对称点在曲线上，求点到直线的最小距