专练12（解答题-导数）（20题）-2021年高考数学（理）考点必杀300题（课标地区专用）

专练12（解答题-导数）（20题）-2021年高考数学考点必杀300题（全国卷理科） 1．（2020·武汉外国语学校高三其他模拟（理））（1）证明：． （2）讨论函数的零点． 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析. 【分析】 （1）令，两次求导先证明，从而判断单调递增，即可得证； （2）求出函数导数，讨论的范围可判断零点情况. 【详解】 （1）证明：记，求导得， 二次求导得，令可知， 且有时，；时，， 从而． 从而，故单调递增， 即有从而不等式得证． （2）求导得， ①当时，，从而可知单增, （i）当时，无零点； （ii）当时，，， 由根的存在性定理，可知存在唯一的零点． ②当时，令，可知， 由单调递增，可知当时，，时， ，从而． （i）当时，，此时无零点； （ii）当时，，此时有唯一零点； （iii）当时，，而， 且在单调递减， 故有根的存在性定理可知，存在唯一的零点使得； 由（1）可知，且， 故同理在上又存在唯一的零点满足， 此时有2个零点． 综上所述：当时，无零点； 当时，有唯一零点； 当时，有两个零点． 【点睛】 本题考查利用导数证明不等式，考查利用导数讨论含参函数的零点，属于较难题． 2．（2021·河南高三一模（理））已知函数. （1）求的单调区间； （2）证明：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析 【分析】 （1）求导函数，利用，解函数单调减区间. 解得单调递增区间. （2）先求出在的极大值为2，由得在成立；再设利用导数法研究函数在 内单调性进行证明. 【详解】 （1）解：的定义域为， ， 在上单调递增，且. 令，得，则的单调递减区间为； 令，得，则的单调递增区间为. （2）证明：设. 令，得；令，得或. 所以当时，取得极大值，且极大值为2， 由（1）知，，故当时，. 设， ，设， 设，易知在上单调递增， 则，则在上单调递增， 从而，则在上单调递增， 则，从而在上单调递增， 所以，故当时，， 从而得证. 【点睛】 本题考查求含参数函数的单调区间及利用导数证明不等式. 导数法研究函数在 内单调性的步骤： (1)求；(2)确定在内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．　　 利用导数证明不等式的基本方法： (1)若与)的最值易求出，可直接转化为证明； (2)若与的最值不易求出，可构造函数 ，然后根据函数的单调性或最值，证明 3．（2021·云南昆明市·高三其他模拟（理））已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）证明：，. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出函数的导数，由题可得在恒成立，构造函数，可利用导数求出最小值，即可求出的取值范围； （2）构造函数，利用导数可得，进而得，构造函数，利用导数可得，即可将所证不等式化为证明，再次构造函数利用导数即可证明. 【详解】 解：（1）， 若在上单调递增，则，即， 设，则，因为，所以， 故在上单调递增，所以，所以. 所以的取值范围为. （2）设，则，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以时，，当时，显然， 故时，. 设，则，， 则在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，所以， 即. 所以. 所以， 只需证，即证. 设，则，， 所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，. 故成立，所以，当时，. 综上所述，，. 【点睛】 关键点睛：本题考查函数不等式的证明，解题的关键是先后两次构造函数将不等式转化为只需证明，再利用导数证明. 4．（2020·衡水第一中学高三期中（理））设函数． （1）当时，求函数的最大值； （2）令，（）其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围； （3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）对函数求导，根据导数大于0或小于0，确定函数的单调区间，进而求出函数的最大值. （2）求出，根据，列不等式，分离参数可得，进而求出结果. （3）有唯一正实数解,构造函数，对函数求导，确定函数的单调区间，进而求出函数的最小值为0，进而求出m值. 【详解】 （1）依题意，知的定义城为， 当时，， ，令，解得. 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减， 所以的极大值为，此即为最大值. （2），则有，在上恒成立， 所以，. 当时，取得最大值，所以. （3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一正实数解， 设，则，令，， 因为，，所以（舍去），， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故时，，取最小值 因为有唯一正实数解，所以， 则即 所以，因为，所以. 设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解， 因为，所以方程（*）的解为，即，解得. 【点睛】 本题考