专练11（解答题-圆锥曲线）（20题）-2021年高考数学（理）考点必杀300题（课标地区专用）

专练11（解答题-圆锥曲线）（20题）-2021年高考数学考点必杀300题（全国卷理科） 1．（2021·云南昆明市·高三其他模拟（理））在平面直角坐标系中，已知点，是一动点，直线，，的斜率分别为，，，且，记点的轨迹为. （1）求曲线的方程； （2）已知直线：，与曲线交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点.当四边形的面积最小时，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】 （1）设，根据直线，，的斜率满足，化简求解. （2）由与抛物线方程联立， 写出的方程，求得M，N的坐标，同理得到P，Q的坐标，然后由，利用基本不等式求解. 【详解】 （1）设，因为， 所以， 化简得， 则曲线的方程为：. （2）由（1）可知，设，， 联立，得， 由韦达定理得，， ，则的方程为：， 所以的坐标为，的坐标为， 同理的坐标为，的坐标为， 所以，， 则， 当且仅当时等号成立，故四边形面积的最小值为4. 所以四边形的面积最小时，直线的方程为或. 【点睛】 方法点睛：求轨迹方程的常用方法 1．直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程了． 2．定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程． 3．相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程． 2．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆：过点，点为其上顶点，且直线的斜率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积是定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）首先求点的坐标，根据求椭圆方程；（2）首先设点，利用点的坐标表示点的坐标，并利用四边形的对角线表示四边形的面积，化简为定值. 【详解】 （1）由题意，设直线：， 令，则，于是.所以，， 故椭圆的方程为. （2）设，且， 又，，所以直线：， 令，，则. 直线：，令，， 则. 所以四边形的面积为 ， 所以四边形的面积为定值. 【点睛】 方法点睛：解决定值、定点的方法 （1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关； （2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算. 3．（2021·全国高三专题练习（理））已知椭圆：的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）若矩形的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）根据椭圆的几何性质求出可得椭圆的方程； （2）①当矩形的四条边与椭圆相切于顶点时，易知，②当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设出矩形的四条边所在的直线方程，利用直线与椭圆相切求出直线方程中参数之间的关系，利用平行直线的距离公式求出矩形的边长，利用矩形的面积公式求出面积，利用基本不等式可求出取值范围. 【详解】 （1），∴ 又椭圆过点，∴， ∴椭圆的方程：． （2）①当矩形的四条边与椭圆相切于顶点时，易知， ②当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设其中一边所在的直线方程为：，则其对边所在的直线方程为：， 另外两边所在的直线方程分别为：，， 联立，消去并整理可得：， 由题意可得， 整理可得， 同理可得， 设两平行直线与之间的距离为，则， 设两平行直线与之间的距离为，则， 依题意可知，为矩形的两邻边的长度， 所以矩形的面积 ， 因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以． 综上所述：该矩形面积的取值范围为． 【点睛】 关键点点睛：利用直线与椭圆相切和平行直线间的距离公式求出矩形的面积是本题解题关键. 4．（2021·河南高三二模（理））已知圆，动圆与圆相外切，且与直线相切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程. (2)已知点，过点的直线与曲线交于两个不同的点（与点不重合），直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）；（2）是，. 【分析】 (1)根据题意分析可得到直线的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，其方程为； (2) 设直线的方程为，点，直线的斜率分别为和，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得和，根据斜率公式得和，利用和化简即可得到定值. 【详解】 (1)设直线的距离为，因为动圆与圆相外切，所以， 所以到直线的距离等