专练09（解答题-立体几何）（20题）-2021年高考数学（理）考点必杀300题（课标地区专用）

专练09（解答题-立体几何）（20题）-2021年高考数学考点必杀300题（全国卷理科） 1．（2021·全国高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD=，且BCCD，以BD为折痕把ABD和CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置(E，F不重合). （1）求证：EFBD； （2）若平面EBD平面FBD，点E在平面ABCD内的正投影G为ABD的重心，且直线EF与平面FBD所成角为60°，求二面角A-BE-D的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）取的中点，连接和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到； （2）由（1）得到以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】 （1）如图所示，取的中点，连接和， 由题意知和均为等腰三角形，且， 故又因为所以平面， 又因为平面所以 （2）由（1）知，，又因为平面平面， 平面平面所以平面， 直线与平面所成角为，可得， 因为，为中点，所以， 所以，所以， 即为等边三角形，为等边的中心， 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则， 设为平面的法向量， 则，可得，令，可得， 即平面的一个法向量为， 设为平面的法向量， 则，即，令，可得， 即平面的一个法向量为， 则， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】 利用空间向量计算二面角的常用方法： 1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 2．（2021·辽宁高三二模（理））已知等腰直角，，点，分别为边，的中点，沿将折起，得到四棱锥，平面平面. （Ⅰ）过点的平面平面，平面与棱锥的面相交，在图中画出交线；设平面与棱交于点，写出的值（不必说出画法和求值理由）； （Ⅱ）求证：平面平面. 【答案】（Ⅰ）图形见解析，1；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】 （Ⅰ）过作交于，由中位线性质证为平行四边形即可知为的中点，由平面平面，过作交于，即知为的中点，即可得. （Ⅱ）由题设易证，，两两互相垂直，构建以为原点，分别以射线，、的方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，并确定，，，进而求面，面的法向量，根据法向量的夹角即可证面面. 【详解】 （Ⅰ）过作交于，由，分别为边，的中点，即， ∴为平行四边形，则为的中点，再过作交于， ∴在△中，为中位线，即为的中点，所得平面即为平面，如下图示， ∴由上，知：. （Ⅱ）由题设知：， 面面，面面，，面， 面，又，面， ，，又， ，，三条棱两两互相垂直. 以为原点，分别以射线，、的方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，， 设平面，平面的法向量分别为，， ，即，取，则， ，即，取，则， ， 平面平面. 【点睛】 关键点点睛：第二问，根据面面垂直的性质证线面垂直，进而确定线线垂直，进而构建空间直角坐标系，求出所证平面的法向量，根据法向量的夹角判断平面的关系. 3．（2020·全国高三专题练习）如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，底面，点E，F分别为，的中点. （1）求证：平面BEF平面PAC； （2）在线段PB（不含端点）上是否存在点G，使得平面EFG与平面PBC所成锐二面角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析. 【分析】 （1）根据PA底面ABC可得，结合可证平面PAC，从而可得平面平面PAC. （2）设，以，，方向为x，y，z轴建立坐标系，求出平面EFG的法向量与平面PBC的法向量的夹角的余弦值后得到关于的方程，求出后可得线段PB上不存在满足条件的点G. 【详解】 （1）∵，E为AC的中点，∴. 又∵平面ABC，平面ABC，∴. ∵，PA，平面PAC，∴平面PAC， 又∵平面BEF，∴平面平面PAC. （2）如图，由（1）知，，，点E，F分别为AC，PC的中点， ∴，∴， 又∵，∴EB，EC，EF两两垂直， 以E为原点，以方向为x，y，z轴建立坐标系， 则，. 设（）， ∴， ， ，. 设平面EFG的法向量为， 则，∴， 令，则，. ，，设平面PBC的法向量， 则 令，则，，. 由已知，， 因为，故线段PB上不存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为. 【点睛】 面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐