专练08（解答题-解三角形）（20题）-2021年高考数学（理）考点必杀300题（课标地区专用）

专练08（解答题-解三角形）（20题）-2021年高考数学考点必杀300题（全国卷理科） 1．（2021·河南平顶山市·高三二模（理））的内角A、、的对边分别是、、，且，，． （1）求的面积； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由余弦定理可得，又，代入方程，可求得c值，代入面积公式，即可求得答案. （2）根据题意，可求得的值，根据正弦定理即可求得的值，根据同角三角函数的关系及角C的范围，即可求得的值，代入两角差的正弦公式，即可求得答案. 【详解】 （1）由余弦定理，所以． 因为，所以，解得，则． 所以的面积． （2）由得．由正弦定理得． 在中，A为钝角，所以为锐角． 所以． 所以． 2．（2021·广西玉林市·高三其他模拟（理））在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且. （1）求角A； （2）若的面积，求a的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）由正弦定理化角为边可得，再利用余弦定理即可求出； （2）由面积公式可得，再利用基本不等式即可求出. 【详解】 （1）由已知结合正弦定理可得，即， 则由余弦定理可得， ，； （2），则， 由，当且仅当时等号成立， . 3．（2021·云南高三二模（理））的内角、、的对边分别为、、，. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理将边转化为角，代入计算可得角；（2）已知边和角，余弦定理求的最大值，代入三角形面积公式可求出面积的最大值. 【详解】 解：（1）， . ，即. ，. . ，. （2）由（1）知：，又，，. ，，解得. . 当时，由得，. 面积的最大值为. 【点睛】 方法点睛：（1）解三角形的问题常用正弦定理进行边角互化； （2）求三角形的面积问题一般情况下用已知角的面积公式求面积，余弦定理或正弦定理求范围均可. 4．（2021·全国高三专题练习）已知的内角的对边分别为，. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理边化角可化简已知关系式求得，结合的范围可求得结果； （2）解法一：利用正弦定理边化角可整理得到，利用的范围可求得的范围，代入整理可求得结果； 解法二：利用余弦定理和基本不等式可求得，整理得到，结合二次函数的性质可求得所求的范围. 【详解】 （1）由正弦定理得：. ，， ，即， ，. （2）解法一：由正弦定理知，， . ，. 令，则，则. 则. 解法二：，，由余弦定理知：（当且仅当时取等号）， ，，则， . 的取值范围为. 【点睛】 方法点睛：求解与边长相关的取值范围类问题通常有两种方法： ①利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解； ②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；将所求式子化为符合基本不等式的形式或配凑成函数的形式来进行求解；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件. 5．（2021·河南高三一模（理））在中，内角，，所对的边分别为，，，若． （1）求角A的大小； （2）若，，点在边上，且，求及． 【答案】（1）；（2），． 【分析】 （1）由正弦定理化边为角，可得，再化简计算即可求出，得出所求； （2）由余弦定理求得，求得，由题得出，再由余弦定理即可求出. 【详解】 解：（1）由正弦定理，原式可化为， 即， ∴， ∵，∴， ∴，又，∴． （2）由余弦定理可得：， ∴， ∵点在边上，且，∴， 又， ∴，∴． 【点睛】 关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算. 6．（2021·广东汕头市·高三一模）在中，角的对边分别为，已知：． （1）求边的长和三角形的面积； （2）在边上取一点D，使得，求的值． 【答案】（1）；；（2）. 【分析】 （1）法一：中，由余弦定理求的长，应用三角形面积公式求的面积；法二：过作出高交于，在所得直角三角形中应用勾股定理求，即可求，由三角形面积公式求的面积； （2）由正弦定理、三角形的性质、同角三角函数的关系，法一：求、、、，由结合两角差正弦公式求值即可；法二：求、，再由结合两角和正切公式求值即可；法三：由（1）法二所作的高，直角△中求，进而求，再根据正弦定理及同角三角函数关系求值即可. 【详解】 （1）法一：在中，由， 由余弦定理，，得，解得或（舍）， 所以，. 法二：（1）过点作出高交于，即为等腰直角三角形， ，，同理△为直角三角形， ， ，故，. （2）在中，由正弦定理，即，得，又，所以为锐角， 法一：由上，，由（为锐角），得， ， 由图可知：为锐角，则，所以. 法二：由上，，由（为锐角），得， ， ，故. 法三：△为直角三