专练03（选择题-压轴）（20题）-2021年高考数学（理）考点必杀300题（课标地区专用）

专练03（选择题-压轴）（20题）-2021年高考数学考点必杀300题（全国卷理科） 1．（2021·全国高三专题练习）已知，，，，则、、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用对数函数的单调性比较、、与的大小关系，利用中间值法判断出、的大小关系，综合可得出、、、的大小关系. 【详解】 ，，， ，，则， ，，则， 因此，. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 2．（2021·湖南高三月考）若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意转化为函数与函数的图象恰好有两个交点，即方程在上有两个不同的解，构造函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】 由题意知函数恰有两个“姊妹点对”， 等价于函数，与函数，的图象恰好有两个交点， 所以方程，即在上有两个不同的解， 构造函数，则， 当时，，函数区间上单调递增，不符合题意； 当时，令，解得，所以函数在区间上单调递增， 令，解得，所以函数在区间上单调递减， 所以，解得， 又由，所以函数在上有且仅有一个零点， 令，则， 令，解得，所以函数在区间上单调递增， 令，解得，所以函数在区间上单调递减， 所以， 所以，即， 又由， 所以函数在上有且仅有一个零点． 综上可得：，即实数的取值范围是． 故选：A. 【点睛】 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大. 3．（2020·长沙市·湖南师大附中高三月考（理））已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为 A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】 由 有点 为线段 的中点,设 ,则 ,所以 ,故 ,由于点A,B,P在双曲线上,所以 ,代入上式中,有 ,所以 ,故最小值为4.选B. 点睛:本题主要考查了双曲线的有关计算,涉及到的知识点有平面向量中线定理,直线斜率的计算公式,基本不等式等,属于中档题. 首先得出原点为线段AB的中点,再求出直线PA,PB斜率的表达式, 算出为定值,再由基本不等式求出最小值. 4．（2020·四川成都市·高三其他模拟（理））已知实数，满足，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 对已知进行变形，得，然后构造函数，利用的单调性可求得答案. 【详解】 ∵，∴， 构造函数，∵与均在上单调递增，∴在上单调递增，∴，A错误； ，的正负不确定，B错误；又，∴， ∴，C错误，D正确， 故选：D. 【点睛】 本题考查了构造函数，利用单调性求解的能力，属于中档题. 5．（2020·贵州贵阳市·高三其他模拟（理））已知正四棱锥内接于一个半径为2的球，则正四棱锥体积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题意画出图形，记为正四棱锥外接球的球心，为底面的中心，设，把正四棱锥的体积用含有的代数式表示，再由均值不等式求最值． 【详解】 解：记为正四棱锥外接球的球心，为底面的中心， 则，，三点共线，连接，，， 设，则，，， 正四棱锥的体积 ． 当且仅当，即时取等号， 正四棱锥体积的最大值是． 故选：． 【点睛】 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 6．（2021·河南高三一模（理））二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制．二进制数据是用0和1两个数码来表示的数．它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”．当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”．如图所示，把十进制数化为二进制数,十进制数化为二进制数，把二进制数化为十进制数为，随机取出1个不小于，且不超过的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析