易错点20 等差数列-冲刺2021年高考数学二轮易错题型专项突破

易错点20 等差数列 一、单选题 1. 已知等差数列和的前n项和分别为和，若，则使得为整数的正整数n共有  个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】解：，可设， 则 则 要使为整数 是36的大于等于4的奇约数，即或或或或或， ，3，6，9，15，33． 使得为整数的正整数n的个数是6． 故选D． 2. 中，“角A，B，C成等差数列”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解：若A，B，C成等差数列，则，， 若， 则， 即， ， 若或， 即或， 角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件． 故选：A． 3. 设非零等差数列的公差为d，则使得数列也为等差数列的d有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】A 【解析】解：由非零等差数列的公差为常数，则， 要使得数列也为等差数列，设公差为常数，则， 即， 可得非零数列是常数数列，故公差为0，只有1种情况， 故选A． 4. 已知数列是等差数列，其公差为，且对任意的，均有，则d的所有值构成的集合为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：，且． 由，得， 整理得  ，   ． 若，取正整数， 则当时，，与矛盾，因此． 同理可得式中，，所以． 又，所以经检验当时，两式对任意的恒成立， 故选：D． 5. 数列满足：，且对任意的都有：，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：，，  即，，，， 等式两边同时相加得， 即 ， 则， ， 故选D． 6. 计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应．现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第k个0和第个0之间有个，即，则该数的所有数字之和为 A. 1973 B. 1974 C. 1975 D. 1976 【答案】C 【解析】解：将数字从左往右只有以0为分界进行分组， 第一组为10，数字之和为1；第二组为1110，数字之和为3； 第三组为111110，数字之和为5；以此类推， 故前n组的数字之和是以1为首项，2为公差的等差数列，则第n组数字之和为． 前n组的数字个数是以2为首项，2为公差的等差数列，则第n组数字个数为2n． 由题知共2019个数字，根据，解得， 则前44组共有个数字，则前1980个数字之和为，剩余数字个数为， 则所有数字之和为， 故选C． 7. 在等差数列中，若是方程的两根，则的值为 A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】解：由题意知， 则． 故选A． 8. 已知等差数列的前n项和为，若，则 A. 2018 B. 2019 C. 4036 D. 4038 【答案】D 【解析】解：由题知为等差数列，， ， 故选D． 二、填空题 9. 某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额单位：元，并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按，，进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知a，b，c成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为______． 【答案】600 【解析】解：，b，c成等差数列， ， 又由频率分布直方图可得， ， 故消费金额超过150元的频率为， 故该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为， 故答案为600． 10. 在等差数列中，满足，且是数列前n项的和，若取得最大值，则___________ 【答案】11 【解析】解：等差数列中，满足， 由等差数列通项公式可知，即， 由等差数列前n项和公式可得 ， 因为 所以当时，取得最大值， 故答案为：11． 11. 若两个等差数列，的前n项和分别为，且满足，则的值为_________ ． 【答案】 【解析】解：由等差数列的求和公式和性质可得： ， 故答案为：． 12. 在数列在中，，，，其中为常数，则______ 【答案】 【解析】解：， 数列为等差数列，， ， ， ． 故答案为． 三、解答题 13. 已知数列中，，，前n项和为，，且 求数列的通项公式； 记，求数列的前n项和． 【答案】解：在数列中，， 且， 式式得： ， 数列是以为首项，公差为1的等差数列， ，  ， 当时，， 当时，，也满足上式， 数列的通项公式为 由知，， ， 则 两式相减得， ， ， ，  ． 14. 已知等差数列的公差，若，且，，成等比数列． 求数列的通项公式； 设，求数列的前n项和． 【答案】解：，，   ，，成等比数列，， 化简得， 又因为 ，且由可得，，， 数列的通项公式是． 由得，      ，  所以 ． 15. 设等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列． Ⅰ求的通项公式； Ⅱ比