易错点19 向量的应用-冲刺2021年高考数学二轮易错题型专项突破

易错点19 向量的应用 一、单选题 1. 设O为坐标原点，直线与抛物线交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为 A. ， B. ， C. D. 【答案】B 【解析】解：根据题意，不妨设，， 因为，可得，所以，故， 所以抛物线C：，所以抛物线的焦点坐标为． 故选B． 2. 在中，，，，D为BC边上靠近C的三等分点，则 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】解： ， ． 故选A． 3. 已知的顶点和重心G的坐标为，则BC边上的中点坐标为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：设的边BC上的中点为D， 是的重心， 在的中线AD上，且满足， ，设， ，， 可得，解得，， 所以BC边上的中点D的坐标为． 故选C． 4. 在中，设，则动点M的轨迹必通过的 A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心 【答案】D 【解析】解：如图所示： 设线段BC的中点为D，则． ， ， ，即 ，且平分BC． 因此动点M的轨迹必通过的外心． 故选D． 5. 在中，向量与满足，且，则为 A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】解：因为， 所以的平分线与BC垂直， 所以三角形ABC是等腰三角形，且． 又因为， 所以， 所以三角形ABC是等腰直角三角形． 故选D． 6. 如图所示，半圆的直径，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是 A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】解：由平行四边形法则得， 故，又 且反向，设， 则 ． ， 当时，的最小值为． 故选D． 7. 已知点A，B，C在圆上运动，且，若点P的坐标为，则的最大值为 A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】解：因为AC为的斜边，点A，B，C在圆上 所以AC为圆的一条直径， 故AC必经过原点，则， 即， 又， 所以 ， 当且仅当时取等号， 故的最大值为7． 故选C． 8. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是的外心、垂心，且M为BC中点，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：设重心为G， 因为三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半． 所以， ，， ， 又M为BC中点，重心为G， ， 所以， 故选D． 二、填空题 9. 已知和点P满足，则与的面积之比为_______． 【答案】 【解析】取AC的中点为D，则：， ， ， ， ，B，D三点共线，且， ． 故答案是． 10. 如图，某班体重为的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为，拉力大小均为F，若使身体能向上移动，则拉力F的最小整数值为________取重力加速度大小为， 【答案】405 【解析】解：对该老师受力分析如图： 因为手臂和单杠的夹角均为， 又两个手臂上的力大小相等， 所以这个平行四边形为菱形，对角线为合力的大小：700N， 根据力的平行四边形定则， 可知每只手臂的拉力为：， 所以拉力F的最小整数值为405N， 故答案为405． 11. 如图所示，在空间四边形中，，，，M，N分别为，的中点，则_________． 【答案】 【解析】解：由题易知，，， ， 故答案为． 12. 【答案】6 【解析】 ，   ，，，      ， 故答案为6． 三、解答题 13. 在非直角中，a，b，c分别是A，B，C的对边．已知，，求： 的值； 边上的中线AD的长． 【答案】解：      ．   由余弦定理， 即：，，  AD的长为则在中， 由余弦定理得：，   在中，由余弦定理得：，   ，   得，即． 另解： ， ． 14. 已知，设． 求函数的单调增区间； 三角形ABC的三个角所对边分别是，且满足，求边c． 【答案】解：    ， 由递增得：， 即， 的递增区间是； 由及，得， 设，则 则， 所以． 15. 已知的面积为，且内角A、B、C依次成等差数列． 若，求边AC的长； 设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值． 【答案】解：设内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 在中，三个内角A，B，C依次成等差数列， ， ， ， 的面积为， ， ，由正弦定理可得：， 解得，， 由余弦定理得 ． 因为D为AC边的中点， 所以， 两边平方，可得：， 可得 ， 解得，当且仅当时等号成立， 可得BD的最小值为3． 16. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点． Ⅰ用，，表示； Ⅱ在中，过点N作直线l分别交AB、AC