易错点14 导数中的恒成立与存在性问题-冲刺2021年高考数学二轮易错题型专项突破

易错点14 导数中的恒成立与存在性问题 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：根据题意得，， 在区间内存在单调递增区间， 在内有解， 即在内有解 故存在，使得， 令，则在单调递增， 所以， 故． 故选D． 2. 若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由题意，函数，可得， 因为函数在上单调递增，即在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则， 所以函数在为单调递增函数，所以， 即实数的取值范围是． 故选B． 3. 已知函数，，若，，，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：因为， 所以在上为增函数， 所以， 令，，则． 当时，；当时，． 所以， 从而． 依题意可得， 即． 则a的取值范围是  故选D． 4. 已知，函数，且对任意的实数x，恒成立，则a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：当时，，即 ， 设 ，  ， 当时， ，单调递增， 当时， ，单调递减，  当时，函数取得最大值，即； 当时，， 设，  ， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，， ， 综上可知： ， 故选B． 5. 已知函数，，实数m，n满足，若，，使得成立，则的最大值为 A. 7 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】解：因为，， 所以， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以． ， 作两函数的图象如图所示， 当时，方程的两根分别为和， 则的最大值为． 故选B． 6. 已知是定义在上的增函数，且恒有，则“”是“恒成立”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解：因为是定义在上的增函数，且恒有， 所以为常数， 令，则． ， 是增函数且， ， ， 对恒成立． 令，， 令，得， 令，得， 在上单调递增，在上单调递减， ， 是的必要不充分条件． 故选B． 7. 已知函数，若对任意两个不相等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：因为函数，若对任意两个不相等的正数，，都有恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 令， 则， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 可得． 故选A． 8. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：因为函数， 所以当时，不等式可变为， 设，即函数在上单调递增， 所以在上恒成立． 因此，在上恒成立． 令， 由知，函数在， 所以， 所以，即． 所以实数a的取值范围为：． 故选A． 二、单空题 9. 已知，设函数 若关于x的不等式 在R上恒成立，则a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】解：当时，恒成立； 当时，恒成立， 令 ， 当且仅当，即时等号成立， ， 当时，恒成立， 令，则， 当时，，递增， 当时，，递减， 时，取得最小值， ， 综上a的取值范围是． 故答案为． 10. 设，函数，，若对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】解：，，，  ，函数单调递增，  的最大值为； ，  ，令，，， 当，在上单调增， ， ； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 恒成立， 当时在上单调递减， 恒成立，  综上 ． 故答案为：． 11. 已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】解：由题意，函数， 求导得， 则由可知恒成立，故在单调递增， 不妨设，则， 从而有恒成立， 即恒成立， 设，则在单调递减， 所以恒成立， 整理得恒成立，设， 求导得，， 所以单调递减，则要恒成立， 只要， 故答案为． 12. 对于总有成立，则             ． 【答案】4 【解析】解：若，则不论a取何值，都成立； 当即时，可化为， 设，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因此，，从而； 当即时，可化为， 可得在区间上单调递增， 因此，，从而． 综上可得． 故答案为4． 三、解答题 13. 已知函数，． 讨论函数在的零点个数； 证明：在上恒成立． 【答案】解：， ，令，得： ，  在上递增，在上递减，故， 即在的零点个数为1． 法1：，令， ，即在递减， ，， 存在使得，即，， 在上，单调递增， 在上，单调递减， ，即在恒成立  法2：由知， ，当且仅当时取“”， ，， 即，当且仅当时取“”，  ，且两个等号不能同时取到， ， 故：在上恒成立． 14. 已知函数． Ⅰ当时，求函数的