2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第二章4.1 平面向量基本定理学案

2020级高一数学导学案 为你提高数学成绩，赵老师全力以赴 §4 平面向量基本定理及坐标表示 §4.1 平面向量基本定理 ————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]———— 1、理解平面向量基本定理及基底的概念。 2、会用基底表示其它向量。 3、会应用平面向量基本定理解决有关的综合问题 。 重点：1、平面向量基本定理。 2、平面向量基本定理的应用。 难点：平面向量基本定理的综合应用。 【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己 一、阅读教材P94—P95“平面向量基本定理”部分 【问题提出】 向量的加法、减法与数乘统称向量的线性运算，任意两个向量 的线性运算的结果 仍是一个向量。那么，对于平面内给定的两个不共线的向量 ，任意向量 是否都能表示为 的线性组合 ？ 分析：如图，给定的两个不共线的向量 ，以及任意一个向量 。 在平面内任取一点 ，作 ， ， 。过点 分别作 ， 的平行线，交直线 ， 分别于点 ， 。由共线（平行）向量基本定理知，存在唯一一对实数 ， ，使得 ， 。又由平行四边形法则知， ，所以 。 结论：平面内任意向量 都可以由不共线向量 ， 唯一的线性表示 。 【抽象概括】 平面向量基本定理：若向量 和 不共线，则对平面内任意向量 ，存在唯一实数对 ， ，使 。 其中，不共线向量 和 叫作平面内所有向量的一组基，记作 。 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基；若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基。 平面向量基本定理又称平面向量分解定理，正交基下的分解叫作正交分解，标准正交基下的分解叫标准正交分解。 特别地，若向量 和 不共线， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 且 。 例1如图，在基 下，分解向量： ， ， ， 。 解： ， ， ， 。 例2 如图，在□ 中，点 ， 分别为 ， 的中点， ， ，用 ， 表示 和 。 解： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ； EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 。 例3如图，已知点 ，