精选10 基本不等式（选择与填空）-2021年高考数学108所名校押题精选（新高考地区专用）

精选10 基本不等式（选择与填空） 1．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值． 2．（1）已知，求的最值的方法是＝，然后展开，结合基本不等式求得；（2）已知，求的最值的方法类似上面解法，即＝，然后结合基本不等式求解． 一、单选题 1．已知，，且，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，，且，则， 所以， ． 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是．故选B． 2．“”的充要条件是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，可得， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 所以“” 的充要条件是．故选D． 3．已知直线经过点．则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，即， 所以，而， 所以，则当且仅当时等号成立， 所以的最小值为8．故选C 【名师点睛】由点在直线上得到，应用“1”的代换求目标代数式的最值． 4．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝， 又OC＝OB－BC＝－b＝， 则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝， 再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D． 5．已知()，函数的值域为，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，为一次函数，值域为，不符合题意； 当时，为二次函数，又值域为，则， 由题意可知，得，则， 则， 当且仅当时等号成立，故选A 6．设，，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知，，，，显然成立． 所以．故选C． 7．已知向量，，则的最大值为 A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】由题意可得，当时，上式小于等于0， 当时，原式，当且仅当时等号成立，故最大值为1．故选D 8．函数的图象可能是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，当且仅当时，取等号 又，所以，故 所以只有A正确，故选A 9．已知，且，则的最小值为 A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解析】由，得， 因为，所以， 即，解得或， 又，所以，当且仅当，即时取等号．故选B． 10．若函数的图象经过点，则 A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】B 【解析】因为函数的图象经过点，所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故选B 11．设正数m，n，，，则的最大值是 A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由题意，正数m，n，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值是为．故选B． 12．已知，，且，则 A．的最大值为 B．的最大值为6 C．的最小值为 D．的最小值为7 【答案】D 【解析】，，，， ，即，设，即，解得或（舍），即，，所以的最小值是，无最大值，故AB不正确； ，当时，即时等号成立，所以的最小值是7，故D正确．故选D 【名师点睛】本题考查根据条件等式，利用基本不等式求最值，条件等式除了基本变形，同时也需注意变量的范围，比如本题中的等条件． 13．已知正数、满足，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知正数、满足，则， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是．故选C． 14．已知，，直线，，且，则的最小值为 A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】，，， ，当时，即时，等号成立， 所以的最小值为．故选A 【名师点睛】本题的关键是利用“1”的变换，即构造，变形展开后能利用基本不等式求最值． 15．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心．已知，则角A的最大值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点D，则， ，所以， 因为， 当且仅当时等号成立，所以．故选A． 16．已知正数是关于的方程的两根，则的最小值为 A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】由题意，正数是关于的方程的两根， 可得， 则，当且仅当时，即时等号成立， 经检验知当时，方程有两个正实数解． 所以的最小值为．故选C． 17．材料一：已知三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中，这个公式