秘籍02 函数的概念与基本初等函数-备战2021年高考数学(理)抢分秘籍

秘籍02 函数的概念与基本初等函数 1．已知函数的值域为R，那么a的取值范围是（　　） A． B． C．（﹣∞，﹣1] D． 【答案】 【解答】解：∵f（x）=， ∴x≥1，lnx≥0， ∵值域为R， ∴（1﹣2a）x+3a必须取到所有的负数， 即满足：，即为﹣1， 即﹣1≤a＜， 故选：A． 解决分段函数问题的注意事项 分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区间讨论分段函数是毫无意义的. 2．函数y=xln|x|的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B； 又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项； 令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意． 故选：C． 函数图象的识别与判断技巧 1．方法1：性质检验法 已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破． 2．方法2：导数法 判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值． 3．方法3：图象变换法 有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题． 3．已知a=0.40.3，b=0.30.4，c=0.3﹣0.2，则（　　） A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c 【答案】A 【解答】解：∵1＞a=0.40.3＞0.30.3＞b=0.30.4， c=0.3﹣0.2＞1， ∴b＜a＜c， 故选：A． 4．已知，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：，，； ． 故选：B． 利用指数函数与对数函数的性质比较大小 （1）底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较． （2）底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较． 5．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（　　） A．（3，4） B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1） 【答案】 【解答】解：∵在（0，+∞）单调递增 ∵f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0， ∴f（1）f（2）＜0 ∴函数的零点在（1，2）之间， 故选：C． 确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定. 6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对于定义域内任意的x均满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2ex（e为自然对数的底数），则f（ln）=（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4 【答案】A 【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=f（x）， ∴4是f（x）的周期； 又x∈（0，2）时，f（x）=2ex， ∴f（ln）=f（lne4﹣ln4）=f（4﹣ln4）=f（﹣ln4）=﹣f（ln4）=﹣2eln4=﹣2×4=﹣8． 故选：A． 7．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（4）=0，若f（x﹣3）≤0，则x的取值范围为　 　． 【答案】[﹣1，3）∪[7，+∞） 【解答】解：f（x）为奇函数，在（0，+∞）上单调递减； ∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减； 又f（4）=0；∴f（﹣4）=0； ∵f（x﹣3）≤0； ∴①x﹣3＞0，即x＞3时：f（x﹣3）≤f（4）； ∵f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴x﹣3≥4；∴x≥7； ②x﹣3＜0，即x＜3时：f（x﹣3）≤f（﹣4）； ∵f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；∴x﹣3≥﹣4； ∴﹣1≤x＜3； 综上得，x的取值范围为[﹣1，3）∪[7，+∞）． 故答案为：[﹣1，3）∪[7，+∞）． 将函数的周期性与奇偶性、单