6.2立方根-【新教材完全解读】初中七年级下册数学教学教案（人教版）

6.2　立方根 1.理解立方根的概念,初步学会用根号表示一个数的立方根. 2.理解开立方与立方互为逆运算,会用立方运算求某些数的立方根. 3.能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同. 用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,并能自己总结出平方根与立方根的异同. 渗透由一般到特殊的思想方法,培养学生的求同存异思维. 【重点】　立方根的概念和求法. 【难点】　立方根与平方根的区别. 【教师准备】　教材例题和探究的投影图片. 【学生准备】　复习平方根的相关知识. 导入一: 如图所示,有一个正方体形状的仓库,体积为64 m3,现准备将其扩充(形状还是正方体),以存放更多的货物,其棱长增加多少,才能使体积达到512 m3? 提出问题:要求棱长增加多少,可分别求出大小两个正方体的棱长,再求它们的差即可.由此可设大小两个正方体的棱长分别为a,b,则由题意知a3=512,b3=64,那么如何由a3=512,b3=64求a,b呢? [设计意图]　通过“体积计算”这个数学场景帮助学生认识到一种新的计算(开立方)的存在. 导入二: 要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱,这种包装箱的边长应该是多少? 设这种包装箱的边长为x m,则x3=27,这就是求一个数,使它的立方等于27. 因为33=27, 所以x=3. 即这种包装箱的边长应为3 m. 上述求包装箱边长的过程,是一种怎样的运算过程呢?这就是我们要研究的开立方的问题. [设计意图]　从学生生活实际中常见到的问题引入课题,让学生从实际问题情境中感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用. 　　[过渡语]　(针对导入二)在上面的问题中有33=27,还有没有另外一个数的立方结果也是27呢?我们一同研究一下这个问题. 1.立方根的定义. 计算下面各小题. (1)23=　　　　,(-2)3=　　　　;  (2)0.53=　　　　,(-0.5)3=　　　　;  (3)=　　　　,=　　　　;  (4)03=　　　　.  问题思考: (1)写出各小题的计算结果. 答:23=8,(-2)3=-8;0.53=0.125,(-0.5)3=-0.125;=,=-;03=0. (2)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处? 答:一个数的立方值不一定都是正数,一个数的平方值一定是非负数.当底数互为相反数时,立方值是一对互为相反数的数,平方运算的底数互为相反数,但其平方值相等. (3)如果把上述每小题的计算过程反过来,请你用含有另外的算式进行表达. 答:例如,如果一个数的三次方等于8,这个数是　　　　.  如果一个数的三次方等于-8,这个数是　　　　.  (4)参照平方根的定义,你能得出立方根的定义吗? 答:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根. [设计意图]　前两个问题由学生交流讨论完成.第(3)个问题侧重逆向思考,通过求一个数立方的过程,反过来思考怎样求一个数是由什么数的立方得来的,这就为引入立方根的概念奠定了基础.第(4)问侧重类比平方根知识的学习,引导学生自我总结立方根的定义. 2.立方根的性质. 　　[过渡语]　求一个数的平方根的运算叫做开平方,那么什么叫做开立方呢? 问题思考: (1)什么叫做开立方? (2)开立方与立方的运算是怎样的关系? (3)开立方的数学符号表达是怎样的? (4)类比平方根的性质,请你总结下立方根的性质. 处理方式:学生交流讨论,老师概括总结. 问题提示: (1)求一个数的立方根的运算,叫做开立方. (2)开立方与立方互为逆运算. (3)一个数a的立方根表示为,读作“三次根号a”,其中a是被开方数,3是根指数,要特别注意,这里的根指数3不能省略. (4)正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0. 　(补充)求下列各数的立方根. (1)125;(2)-0.064;(3)-5;(4). 〔解析〕　可利用开立方与立方互为逆运算来求出各数的立方根,注意应用立方根的性质=-. 解:(1)因为53=125, 所以125的立方根是5,即=5. (2)因为(-0.4)3=-0.064, 所以-0.064的立方根是-0.4, 即=-0.4. (3)因为-5=-,=-, 所以-5的立方根是-. (4)因为=8,而23=8, 所以的立方根是2,即　=2. [知识拓展]　立方根的两个重要性质. (1)=-.例如:=-2,-=-2,所以=-. (2)==a.例如:==64. 3.用计算器求立方根. (1)用计算器求立方根的方法. 方法一:很多有理数的立方根是无限不循环小数,我们可用计算器求出它的近似值,如,按键顺序为:4=. 方法二:有些计算器需要用到第二功能