考点20 平面解析几何（5）-备战2021年高考数学经典解答题压轴题考前必刷（全国通用）

考点20 平面解析几何（5） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 【真题分析】 例 1．（2020·浙江高三专题练习）已知动点到直线的距离比到点的距离大. （1）求动点所在的曲线的方程； （2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值； （3）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为，证明：直线过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析，定值；（3）证明见解析. 【分析】 （1）根据题意转化为动点到直线的距离和到点的距离相等，结合抛物线的定义，即可求得曲线的方程； （2）由和，分别联立方程组，求得和，结合斜率公式，即可求解； （3）由：，，分别联立方程组和，求得，求得直线的方程，即可求解. 【详解】 （1）已知动点到直线的距离比到点的距离大， 等价于动点到直线的距离和到点的距离相等， 由抛物线的定义可得曲线的轨迹时以为焦点，以直线为准线的方程， 且，所以曲线的方程为. （2）设直线的斜率为， 因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，所以直线的斜率为， 则， 联立方程组，整理得， 即，可得 联立方程组，整理得， 即，可得 所以，即直线的斜率为定值. （3）设直线的斜率为，所以直线的斜率为， 则， 两类方程组，整理得， 即，可得， 联立方程组，可得， 即，可得 所以， 所以，整理得 所以直线恒过. 【点睛】 解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 【真题演练】 2．（2020·江苏省天一中学高三其他模拟）已知椭圆C.（）与抛物线（）共焦点，以椭圆的上下顶点M、N和左右焦点F1、F2所围成的四边形MF1NF2的面积为8，经过F2的直线交抛物线于A、B，交椭圆于C、D，且满足. （1）求出椭圆和抛物线的标准方程; （2）若点D在第三象限，且点A在点B上方，点C在点D上方，当△BF1D面积取得最大值S时，求的值. 【答案】（1）；；（2） 【分析】 （1）利用已知条件，列出含的方程组，进而出的解即可； （2）设直线的倾斜角为，利用椭圆和抛物线的焦半径公式的倾斜角式得到 进而得到，设到的距离为， 列出面积的方程，进而利用导数的性质可求解 【详解】 解：（1）先作如下计算， 设过的直线的倾斜角为，设，由椭圆定义得，由余弦定理得， 整理可得，同理可求得， ，； 所以，； 过两点分别向轴作垂线、，、为垂足， 再设，可得， 点的横坐标为，点B横坐标为， 由抛物线定义知，， 所以，，，此时， ， 设椭圆的焦距为，所以，，易知， 又因为椭圆的上下顶点M、N和左右焦点F1、F2所围成的四边形MF1NF2的面积为8，得，得，又 由得，，得， 联立方程得，，解得，， （2） 由（1）得，直线的倾斜角为，且，得，椭圆离心率， 则，得， ，又由（1）得 ，设到的距离为， 则， ，根据的性质， 只有符合题意，根据导数的性质， 可知，在时，取得最大值， ， 【点睛】 关键点睛：解题关键在于根据椭圆和抛物线的焦半径公式的倾斜角式得到， ，进而列出面积方程，再求导后求解，本题的运算量相当大，属于难题 3．（2021·江西宜春市·高三其他模拟（理））已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积与的面积分别为. ①求的最大值； ②当取得最大值时，求的值. 【答案】（1），（2）①1，② 【分析】 （1）设椭圆的上下顶点为，左焦点为，则由题意可得，从而椭圆方程为，将代入椭圆方程，解出，即可得到椭圆方程 （2）由直线与圆相切得，则，设，将直线代入椭圆方程得，，，根据根与系数的关系和弦长公式可得，设点到直线的距离为，可得的面积，设，由直线与圆相切于点，可得，则，可得，可得，由，，即可得答案 【详解】 解：（1）由题意设椭圆的上下顶点为，左焦点为，则是等边三角形，所以，则椭圆方程为，将代入椭圆方程，可得，解得， 所以椭圆方程为 （2）①由直线与圆相切得，则，设， 将直线代入椭圆方程得，， ， 因为，所以， 且， 所以 设点到直线的距离为， 所以的面积为 ， 当，得时等号成立，所以的最大值为1 ②设，由直线与圆相切于点，可得，则，可得， 所以， 因为，所以， 所以 【