考点18 平面解析几何（3）-备战2021年高考数学经典解答题压轴题考前必刷（全国通用）

考点18 平面解析几何（3） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 【真题分析】 例 1．（2019·全国高考真题（理）） 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【分析】 （1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件； （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形； （ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】 （1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点P在第一象限，所以，因此点的坐标为 直线的斜率为，可得直线方程：，与椭圆方程联立，，消去得，（*），设点，显然点的横坐标和是方程（*）的解 所以有，代入直线方程中，得 ，所以点的坐标为， 直线的斜率为; , 因为所以，因此是直角三角形； （ii）由（i）可知：， 的坐标为， ， , ,因为，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，函数有最大值，最大值为. 【点睛】 本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题. 【真题演练】 2．（2018·浙江高考真题）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． （Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； （Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【分析】 分析: （Ⅰ）设P,A,B的纵坐标为，根据中点坐标公式得PA,PB的中点坐标，代入抛物线方程，可得，即得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△PAB面积为，利用根与系数的关系可表示为的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围. 【详解】 详解：（Ⅰ）设，，． 因为，的中点在抛物线上，所以，为方程 ， 即的两个不同的实数根． 所以． 因此，垂直于轴． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 所以，． 因此，的面积． 因为，所以． 因此，面积的取值范围是． 点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域. 3．（2017·山东高考真题（理））在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率. 【答案】（1） （2） 的最大值为 ，取得最大值时直线的斜率为 . 【详解】 试题分析：（I）本小题由，确定即得. （Ⅱ）通过联立方程组化简得到一元二次方程后应用韦达定理，应用弦长公式确定及圆的半径表达式.进一步求得直线的方程并与椭圆方程联立，确定得到的表达式，研究其取值范围.这个过程中，可考虑利用换元思想，应用二次函数的性质及基本不等式. 试题解析：（I）由题意知 ，， 所以 ， 因此 椭圆的方程为. （Ⅱ）设， 联立方程 得， 由题意知， 且， 所以 . 由题意可知圆的半径为 由题设知， 所以 因此直线的方程为. 联立方程 得， 因此 . 由题意可知 ， 而 ， 令， 则， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以 ， 因此， 所以 最大值为. 综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为. 【名师点睛】 本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数