考点15 空间向量与立体几何（5）-备战2021年高考数学经典解答题压轴题考前必刷（全国通用）

考点15 空间向量与立体几何（5） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 【真题分析】 例 1．（2021·全国高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD=，且BCCD，以BD为折痕把ABD和CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置(E，F不重合). （1）求证：EFBD； （2）若平面EBD平面FBD，点E在平面ABCD内的正投影G为ABD的重心，且直线EF与平面FBD所成角为60°，求二面角A-BE-D的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）取的中点，连接和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到； （2）由（1）得到以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】 （1）如图所示，取的中点，连接和， 由题意知和均为等腰三角形，且， 故又因为所以平面， 又因为平面所以 （2）由（1）知，，又因为平面平面， 平面平面所以平面， 直线与平面所成角为，可得， 因为，为中点，所以， 所以，所以， 即为等边三角形，为等边的中心， 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则， 设为平面的法向量， 则，可得，令，可得， 即平面的一个法向量为， 设为平面的法向量， 则，即，令，可得， 即平面的一个法向量为， 则， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】 利用空间向量计算二面角的常用方法： 1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 【真题演练】 2．（2021·全国高三其他模拟）如图，在圆锥中，为底面圆的直径，点，在底面圆上，且. （1）求证：平面平面； （2）若是边长为4的等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）通过证明和，进而证明平面平面; （2）以，，所在直线为轴､轴､轴，建空间直角坐标系，利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】 （1）证明：因为平面，平面， 所以. 因为，所以. 又，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）解：连接，设的中点为，连接. 因为，所以. 因为为底面圆的直径，所以， 于是得，. 分别以，，所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 （1）此问关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化; （2）选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量． 3．（2020·浙江高三其他模拟）如图，在正六面体中，，，，，过E，F，G的平面m截正六面体得一平面多边形n. （Ⅰ）求多边形n的周长和面积； （Ⅱ）求m与平面所成的二面角的平面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）周长为，面积为：；（Ⅱ）. 【分析】 （1）延长，交延长线于点H，延长，交延长线于点I， 过H作平行线，交、、于点J，K，L，连结，，则多边形n为多边形，由此可以求出多边形n的周长和面积； （2）以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求m与平面所成的二面角的平面角的余弦值. 【详解】 （Ⅰ）延长，交延长线于点H，延长，交延长线于点I， 过H作平行线，交、、于点J，K，L，连结，，则多边形n为多边形， 由勾股定理得：，，，，，，，， ，，， 则多边形n的周长为：， ，过F作平行线，交于，过作垂线， 垂足为M，连结，∵，平面，∴平面， ∵平面，∴，又，∴平面， ∵平面，∴，∴， ∴多边形n的面积为：. （Ⅱ）以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，， 平面的一个法向量， 平面的法向量， ∴m与平面所成的二面角的平面角的余弦值为：. 【点睛】 （1）作多面体的截面方法（交线法）：关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面； （2）立体几何中求角或求距离（求体积通常需要先求距离）的计算，通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算． 4．（2020·全国高三其他模拟）如图，四棱锥的底面为菱形，且，平面，为的中点. （1）棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；