考点14 空间向量与立体几何（4）-备战2021年高考数学经典解答题压轴题考前必刷（全国通用）

考点14 空间向量与立体几何（4） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 【真题分析】 例 1．（2021·河北石家庄市·高三一模）2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. （Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体，几何体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面内.设与平面平行且距离为的平面截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明； （Ⅱ）现将椭圆所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球，（如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球的体积公式，并写出椭球，的体积之比. 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ），体积之比为. 【分析】 （Ⅰ）由题意，直接画出阴影即可，然后分别求出图①中圆的面积及图②中圆环的面积即可证明； （Ⅱ）类比（Ⅰ）可知，椭圆的长半轴为，短半轴为，构造一个底面半径为，高为的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为，高为，证明截面面积相等，由祖暅原理求出出椭球的体积，同理求出椭球的体积，作比得出答案. 【详解】 （Ⅰ）由图可知，图①几何体的为半径为的半球，图②几何体为底面半径和高都为的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分） 证明如下： 在图①中，设截面圆的圆心为，易得截面圆的面积为， 在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为，所以，圆环的面积为，所以，截得的截面的面积相等 （Ⅱ）类比（Ⅰ）可知，椭圆的长半轴为，短半轴为，构造一个底面半径为，高为的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上（如图），在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为，高为； 在半椭球截面圆的面积， 在圆柱内圆环的面积为 ∴距离平面为的平面截取两个几何体的平面面积相等， 根据祖暅原理得出椭球的体积为： ， 同理：椭球的体积为 所以，两个椭球，的体积之比为. 【点睛】 关键点点睛：本题考查新定义问题，解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题. 【真题演练】 2．（2021·全国高三专题练习）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，，是棱上的动点（除端点外），，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的最大角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】 （1）取的中点，连结，，证明平面平面，再用面面平行的性质定理证明即可； （2）作出直线与平面所成角的平面角，通过最大角为，确定长度，建立空间直角坐标系，用向量法计算二面角余弦值. 【详解】 （1）证明：取的中点，连结，， 因为，分别为，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 同理，平面， 又因为， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面． （2）因为平面平面，， 所以平面， 所以即为直线与平面所成的角， 且， 当最小，即为中点时，， 此时最大为， 又因为， 所以，所以． 取的中点，连结，， 易知平面， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，，，， 设为平面的法向量， 则， 即 可取． 设平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 【点睛】 求直线与平面所成的角的一般步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． 3．（2021·全国高三专题练习）如图，在四边形