考点13 空间向量与立体几何（3）-备战2021年高考数学经典解答题压轴题考前必刷（全国通用）

考点13 空间向量与立体几何（3） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 【真题分析】 例 1．（2007·陕西高考真题（理））(本小题满分12分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥，,BC=6. (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求二面角的大小. 【答案】(Ⅰ) 证明见解析 (Ⅱ) 【解析】解法一：（Ⅰ）平面，平面．． 又，． ，，，即． 又．平面． （Ⅱ）过作，垂足为，连接． A E D P C B F 平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知， 为二面角的平面角． 又， ， ， 又，，． 由得． 在中，，． 二面角的大小为． 解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系， A E D P C B y z x 则，，，，， ，，， ，．，， 又，平面． （Ⅱ）设平面的法向量为， 则，， 又，， 解得 平面的法向量取为， ，． 二面角的大小为． 【真题演练】 2．（2007·北京高考真题（理））（本小题共14分） 如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上． （I）求证：平面平面； （II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小； （III）求与平面所成角的最大值． 【答案】（I）平面平面 （II）异面直线与所成角的大小为 （III）CD与平面所成角的最大值为 【解析】解法一： （I）由题意，，， 是二面角是直二面角， 又二面角是直二面角， ，又， 平面， 又平面． 平面平面． （II）作，垂足为，连结（如图），则， 是异面直线与所成的角． 在中，，， ． 又． 在中，． 异面直线与所成角的大小为． （III）由（I）知，平面， 是与平面所成的角，且． 当最小时，最大， 这时，，垂足为，，， 与平面所成角的最大值为． 解法二： （I）同解法一． （II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，， ，， ． 异面直线与所成角的大小为． （III）同解法一 3．（2007·安徽高考真题（理））(本小题满分14分)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2. （Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面； （Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1； （Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）. 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）证明见解析 （Ⅲ）二面角的大小为 【解析】解法1（向量法）： 以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图， A B C D 则有． （Ⅰ）证明： ． ． 与平行，与平行， 于是与共面，与共面． （Ⅱ）证明：， ， ，． 与是平面内的两条相交直线． 平面． 又平面过． 平面平面． （Ⅲ）解：． 设为平面的法向量， ，． 于是，取，则，． 设为平面的法向量， ，． 于是，取，则，． ． 二面角的大小为． 解法2（综合法）： （Ⅰ）证明：平面，平面． ，，平面平面． 于是，． 设分别为的中点，连结， 有． ， 于是． 由，得， 故，与共面． 过点作平面于点， A B C D 则，连结， 于是，，． ，． ，． 所以点在上，故与共面． （Ⅱ）证明：平面，， 又（正方形的对角线互相垂直）， 与是平面内的两条相交直线， 平面． 又平面过，平面平面． （Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，， 根据三垂线定理，有． 过点在平面内作于，连结， 则平面， 于是， 所以，是二面角的一个平面角． 根据勾股定理，有． ，有，，，． ，， 二面角的大小为． 4．（2007·辽宁高考真题（理））（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为． （I）证明：； （II）求的长，并求点到平面的距离． 【答案】（I） （II） C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为 【解析】)证明：连结CD. ∵三棱柱ABC-A，BC是直三棱柱. ∴ ∴CD为C1D在平面ABC内的射影. ∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点. ∴ ∴ ∵ ∴ （Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF. ∵D、E分别为AB、BC的中点. ∵ 又 ∴ ∵AF为MF在平面ABC内的射影， ∴ ∴为二面角的平面角，. 在△MAF中, , ∴ 作，垂足为G. ∵ ∴ ∴ ∴ 在△GAF中, ，AF= ∴，即A到平面MDE的距离为. ∵∴ ∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为， 解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF. ∵D、E分别为AB、CB的中点， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴AF为MF在平面ABC内的射影， ∴ ∴为二面