考点09 数列（4）-备战2021年高考数学经典解答题压轴题考前必刷（全国通用）

考点09 数列（4） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 【真题分析】 例 1．（2021·北京顺义区·高三二模）已知数列，记，首项，若对任意整数，有，且是k的正整数倍． （1）若，写出数列的前10项； （2）证明：对任意，数列的第n项由唯一确定； （3）证明：对任意正整数，数列从某一项起为等差数列． 【答案】（1）21，1，2，0，1，5，5，5，5，5；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【分析】 （1）由题意，即可得出结果. （2）当时，可得由唯一确定. 接下来用反证法，即可证明. （3）由，可得， 进而可得.因此，存在，当时，为常数. 即可证明. 【详解】 （1）21，1，2，0，1，5，5，5，5，5. （2）当时，根据题意为偶数，并且， 若为偶数，，若为奇数，，从而由唯一确定. 接下来用反证法，假设数列的某一项可以有两种不同取值. 假设第项是第1个可以有两种不同取值的项， 即前面项由唯一确定. 记第项的两种取值为和， 根据题意存在使得：……① 且……② 并且满足. 由①②两式作差可知是的倍数， 又因为，可知，矛盾. 从而对任意，数列的第n项由唯一确定. （3）因为，所以. 因为都是正整数，由整数的离散性有. 因此，存在，当时，为常数. 不妨记为，从而当时，有. 所以从第项起为等差数列. 【点睛】 关键点点睛：利用反证法证明：对任意，数列的第n项由唯一确定是常用的方法.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题. 【真题演练】 2．（2021·北京西城区·高三一模）已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为． （1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，井写出的值； （2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”； （3）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【分析】 （1）利用列举法写出符合题意的所有的的取值可能，得出的值； （2）先假设数列为递增的等差数列，公差为，则可知，当时，，则可知的最大值为，最小值为，成立；反之若，因为A是递增数列，所以，可推出，那么，又，且互不相等，则可知，所以，可得数列A是等差数列; (3)当数列A由这个数组成，则任意两个不同的数作差，差值只可能为和，共个值，又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以，则可得出，再说明可以取得之间的所有整数，得到的值为. 【详解】 解：（1）因为，，，，则的可能情况有： ，，，，，， 所以，． （2）充分性：若A是等差数列，设公差为d． 因为数列A是递增数列，所以． 则当时，， 所以，． 必要性：若． 因为A是递增数列，所以， 所以，且互不相等， 所以． 又， 所以，且互不相等． 所以， 所以， 所以A为等差数列． （3）因为数列A由这个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和． 共个不同的值；且对任意的， m和这两个数中至少有一个在集合T中． 又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以． 综上，，且． 设数列：，此时． 现对数列分别作如下变换： 把一个1移动到2，3之间，得到数列：， 此时，． 把一个1移动到3，4之间，得到数列：， 此时，． 把一个1移动到，n之间得到数列：， 此时，． 把一个1移动到n，之间，得到数列：， 此时，． 再对数列依次作如下变换： 把一个1移为的后一项，得到数列：， 此时，； 再把一个2移为的后一项：得到数列：， 此时，； 依此类推 最后把一个n移为的后一项：得到数列：， 此时，． 综上所述，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为． 【点睛】 本题考查新定义数列问题，难度较大，解答的关键在于根据数列中项的大小及数字特征分析清楚任意两项的所有可能取值，从而得出的值，注意在解答的过程中，项的顺序不同，的值不同. 3．（2021·北京石景山区·高三一模）由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”. （1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由； （2）若集合为“满集”，求的值； （3）若是首项为，公比为的等比数列，判断集合是否为“满集”，并说明理由. 【答案】（1）是“满集”，不是“满集”；理由见解析；（2）；（3）是“满集”，理由见解析. 【分析】 （1）由和确定可能的取值，根据“满集”定义可知满足定义，但存在时不符合“满集”定义，由此可得结论； （2）设，由“满集”定义知：，由此可知或，在两种情况下均可确定，由此得到结果； （3）由等比数列求和公式确定，可得到，取，即可得到结论. 【详解】 （1