考点08 数列（3）-备战2021年高考数学经典解答题压轴题考前必刷（全国通用）

考点08 数列（3） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 【真题分析】 例 1．（2015·广东高考真题（理））（14分）（2015•广东）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+． （1）求a3的值； （2）求数列{an}的前 n项和Tn； （3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn． 【答案】（1）a3=（2）Tn==2﹣21﹣n．（3）见解析 【解析】 试题分析：（1）利用数列的递推关系即可求a3的值； （2）利用作差法求出数列{an}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{an}的前 n项和Tn； （3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式． 解：（1）∵a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+． ∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2， 解得a2=， ∵a1+2a2+…+nan=4﹣，n∈N+． ∴a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=4﹣，n∈N+． 两式相减得nan=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2， 则an=，n≥2， 当n=1时，a1=1也满足， ∴an=，n≥1， 则a3=； （2）∵an=，n≥1， ∴数列{an}是公比q=， 则数列{an}的前 n项和Tn==2﹣21﹣n． （3）bn=+（1+++…+）an， ∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3， ∴Sn=b1+b2+…+bn=（1+++…+）（a1+a2+…+an）=（1+++…+）Tn =（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+）， 设f（x）=lnx+﹣1，x＞1， 则f′（x）=﹣． 即f（x）在（1，+∞）上为增函数， ∵f（1）=0，即f（x）＞0， ∵k≥2，且k∈N•时，， ∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞， ∴ln，，…， 即=lnn， ∴2×（1+++…+）＜2+lnn， 即Sn＜2（1+lnn）=2+2lnn． 点评：本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大． 【真题演练】 2．（2015·浙江高考真题（理））已知数列满足=且=-（）. （1）证明：1（）； （2）设数列的前项和为，证明（）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知 ，从而得证；（2）由和，得，从而可得，即可得证. 【详解】 （1）由题意得，，即，， 由， 得， 由得，， 即； （2）由题意得， ∴①， 由和，得， ∴， 因此②， 由①②得. 考点：数列与不等式结合综合题. 3．（2013·上海高考真题（理））给定常数，定义函数，数列满足. （1）若，求及； （2）求证：对任意，； （3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由. 【答案】见解析 【解析】 （1）因为，，故， （2）要证明原命题，只需证明对任意都成立， 即只需证明 若，显然有成立； 若，则显然成立 综上，恒成立，即对任意的， （3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有 此时， 即 故， 即， 当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意； 若，则， 此时，也满足题意； 综上，满足题意的的取值范围是． 【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题． 4．（2012·北京高考真题（理））设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。 对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）： 记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。 对如下数表A，求K（A）的值； 1 1 -0.8 0.1 -0.3 -1 （2）设数表A∈S（2,3）形如 1 1 c a b -1 求K（A）的最大值； （3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。 【答案】（1）0.7 （2）1 （3） 【考点定位】此题作为压轴题难度较大，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生严谨的逻辑思维能力 【解析】 （1）因为， 所以 不妨设.由题意得.又因为，所以， 于是，， 所以，当，且时，取得最大值1。 （3）对于给定的正整数t，任给数表如下， … … 任意改变A的行次序或列次