考点07 数列（2）-备战2021年高考数学经典解答题压轴题考前必刷（全国通用）

考点07 数列（2） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 【真题分析】 例 1．（2020·北京高考真题）已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项．使得． (Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【分析】 (Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断； (Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可. 解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得成等比数列，之后证得成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证. 【详解】 (Ⅰ)不具有性质①； (Ⅱ)具有性质①； 具有性质②； (Ⅲ)解法一 首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数： 显然，假设数列中存在负项，设， 第一种情况：若，即， 由①可知：存在，满足，存在，满足， 由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：， 另一方面，，由数列的单调性可知：， 这与的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号. 其次，证明： 利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即， 最后，用数学归纳法证明数列为等比数列： 假设数列的前项成等比数列，不妨设， 其中，（的情况类似） 由①可得：存在整数，满足，且 （*） 由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：， 由可得： （**） 由（**）和（*）式可得：， 结合数列的单调性有：， 注意到均为整数，故， 代入（**）式，从而. 总上可得，数列的通项公式为：. 即数列为等比数列. 解法二： 假设数列中的项数均为正数： 首先利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即， 即成等比数列，不妨设， 然后利用性质①：取，则， 即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明， 否则，由数列的单调性可知， 在性质②中，取，则，从而， 与前面类似的可知则存在，满足， 若，则：，与假设矛盾； 若，则：，与假设矛盾； 若，则：，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而， 然后利用性质①：取，则数列中存在一项， 下面我们用反证法来证明， 否则，由数列的单调性可知， 在性质②中，取，则，从而， 与前面类似的可知则存在，满足， 即由②可知：， 若，则，与假设矛盾； 若，则，与假设矛盾； 若，由于为正整数，故，则，与矛盾； 综上可知，假设不成立，则. 同理可得：，从而数列为等比数列， 同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列. 由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列为等比数列. 【点睛】 本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力. 【真题演练】 2．（2019·上海高考真题）已知等差数列的公差，数列满足，集合. （1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素； （3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值. 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】 （1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列周期为，从而得到；（2）恰好有两个元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次讨论的情况，当时，均可得到符合题意的集合；当时，对于，均无法得到符合题意的集合，从而通过讨论可知. 【详解】 （1）， ，， ，，， 由周期性可知，以为周期进行循环 （2），， 恰好有两个元素 或 即或 或 （3）由恰好有个元素可知： 当时，，集合，符合题意； 当时，， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，如图取，，符合条件 当时，， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，如图取，，符合条件 当时，， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，如图取时，，符合条件 当时，， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件； 当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件； 当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或 若，即，不是整数， 若，即，不是整数， 故不符合条件