考点06 数列（1）-备战2021年高考数学经典解答题压轴题考前必刷（全国通用）

考点06 数列（1） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 【真题分析】 例 1．（2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）. 【分析】 (Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可； (Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可. 【详解】 (Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q. 由，，可得d=1. 从而的通项公式为. 由， 又q≠0，可得，解得q=2， 从而的通项公式为. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得， 故，， 从而， 所以. (Ⅲ)当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和 ① 由①得 ② 由①②得， 由于， 从而得：. 因此，. 所以，数列的前2n项和为. 【点睛】 本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等， 【真题演练】 2．（2020·浙江高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，． （Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：． 【答案】（I）；（II）证明见解析. 【分析】 （I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式. （II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立. 【详解】 （I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以. 所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以. 所以（）. 所以，又，符合， 故. （II）依题意设，由于， 所以， 故 . 又，而， 故 所以 . 由于，所以，所以. 即， . 【点睛】 本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法， 3．（2020·江苏高考真题）已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ~k”数列． （1）若等差数列是“λ~1”数列，求λ的值； （2）若数列是“”数列，且an＞0，求数列的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1 （2） （3） 【分析】 （1）根据定义得，再根据和项与通项关系化简得，最后根据数列不为零数列得结果； （2）根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，即得； （3）根据定义得，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果 【详解】 （1） （2） ， （3）假设存在三个不同的数列为数列. 或 或 ∵对于给定的，存在三个不同的数列为数列，且 或有两个不等的正根. 可转化为，不妨设，则有两个不等正根，设. ① 当时，，即，此时，，满足题意. ② 当时，，即，此时，，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去. 综上， 【点睛】 本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题. 4．（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”； （2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和． ①求数列{bn}的通项公式； ②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值． 【答案】（1）见解析； （2）①bn=n；②5. 【分析】 （1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论； （2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{bn}是等差数列，据此即可确定其通项公式； ②由①确定的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值． 【详解】 （1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0. 由，得，解得． 因此数列为“M—数列”. （2）①因为，所以． 由得，则. 由，得， 当时，由，得， 整理得． 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{bn}的通项公式为bn=n. ②由①知，bk=k，. 因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0. 因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m. 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有．