考点05 函数与导数（5）-备战2021年高考数学经典解答题压轴题考前必刷（全国通用）

考点05 函数与导数（5） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 【真题分析】 例 1．（2021·河南新乡市·高三二模（文））已知函数． （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值集合． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）. 【分析】 （1）由题意知：定义域为且，求a值，利用导数研究其单调区间即可； （2）法一：由，讨论a的范围，利用导数研究其单调性，进而确定在区间内是否恒为非正数，即可求的取值集合；法二：令，则等价于，构造，利用导数结合分类讨论的方法，研究的单调性确定在定义域区间内是否恒为非正数，求的取值集合. 【详解】 （1）由题意知：，且，解得， ∴． ∵的定义域为，即，且函数在上为增函数，，即当时，；当时，． ∴的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）（法一）且定义域为， ①当时，，此时在上单调递减，当时，，显然不符合题意． ②当时，，不合题意． ③当时，令，得，即． 令，则，所以在上单调递增， 则存在，使得，两边同时取对数可得． 当时，，；当时．，． ∴． 令，则． 由，得；由，得．从而，所以． 又，所以， ∴，故的取值集合为． （法二），令，则等价于． 设，则， ①当时，，此时在上单调递减，因为，所以不恒成立． ②当时，在上单调递增，在上单调递减，则． 令，则． 由，得；由，得．从而，所以． 又，所以， ∴，故的取值集合为． 【点睛】 关键点点睛： （1）由解析式确定导函数及其定义域，根据导数的几何意义求参数，进而研究其单调区间； （2）应用分类讨论的方法，利用导函数研究相关函数的单调性，根据恒成立确定在区间内是否恒为非正数，进而求参数取值的集合. 【真题演练】 2．（2021·全国高三专题练习）已知函数，其中. （1）若在处的切线与轴的交点为，求的值； （2）设函数，当时，试讨论的单调性. 【答案】（1）；（2）函数在上单调递增，在上单调递减 【分析】 （1）本题首先可通过函数解析式得出，然后通过求导得出，并写出在处的切线方程，最后通过切线与轴的交点为即可得出结果. （2）本题可根据题意得出，然后构造函数，通过导函数求函数的最值从而得出，最后分为、两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】 （1）因为，所以， 因为，所以， 则在处的切线方程为，即， 因为切线与轴的交点为，所以，解得. （2）因为，所以， 则， 当时，， 构造函数，则， 即当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， 当时，函数取最小值，， 即当时，，，， 因为， 所以当，，函数在上单调递增； 当，，函数在上单调递减， 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【点睛】 关键点点睛：本题考查根据函数的切线方程求参数以及通过导数求函数的单调性，能否通过构造函数得出是解决本题的关键，函数在某一点处的导函数值即函数在这一点处的切线斜率，考查计算能力，是难题. 3．（2021·山东德州市·高三一模）已知函数，．定义新函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若新函数的值域为，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【分析】 （1）计算，然后根据，，，，讨论函数单调性. （2）利用等价转化即在上有解，构造函数，并利用导数研究函数单调性，根据隐零点得到函数，最后计算可得结果. 【详解】 （1）， 当即时，， 令得，令得， 在上单调递减，上单调递增， 当时， ①当，即时， 令得，令得， 或，在和上单调递减， 在上单调递增． ②当，即时，， 在上单调递减． ③当时，令得， 令得或． 所以在和上单调递减，上单调递增． 综上所述：时，在上单调递减，上单调递增． 时，在和上单调递减，在上单调递增， 时，在上单调递减， 时，在和上单调递减，上单调递增． （2）因为， 所以有解， 即在上有解， 令，则， 令，则， 显然在上单调递增， 又，， ，使， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增． 故，且，， 由，得， 即， 令，， 所以在上单调递增， 又，，故，即， 所以，， 即，∴． 【点睛】 关键点点睛：第（1）问利用导数判断函数单调性，关键在于对参数的分类讨论；第（2）问使用等价转化的思想并结合导数判断原函数单调性，本题关键在于利用隐零点. 4．（2021·山东泰安市·高三一模）已知函数. （1）讨论函数的极值点的个数； （2）已知函数有两个不同的零点，且.证明：. 【答案】（1）当时，无极值点；当时，有个极值点；（2）证明见解析. 【分析】 （1）易知函数的定义域为，求导可得，令，则，由的单调性可得 ，再分和讨论即可得解； （2）由题意知，， 由的单调性可得，若要函数有两个不同零点 则有，即，