考点04 函数与导数（4）-备战2021年高考数学经典解答题压轴题考前必刷（全国通用）

考点04 函数与导数（4） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 【真题分析】 例 1．（2021·河南高三二模（文））已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若极大值大于2，求的取值范围.· 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】 （1）先对函数求导得到，导函数的正负跟的取值有关系，所以要对的取值进行分类讨论，进而求出函数的单调递增区间. 由（1）知，和时，无极大值，不成立．再分析当时，极大值， 又，求解得a的取值范围；当时，极大值，得，求解得a的取值范围，最后两种情况取并集即可. 【详解】 （1）求导, 当时，令，，解得： ， 所以的单调递增区间为，递减区间为 当时，令，解得：或 ， 所以的单调递增区间为和，的单调减区间为 当时，上恒成立，所以的单调递增区间为；无递减区间 当时，令，解得：或， 所以的单调递增区间为和，的单调减区间为. 综上：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为和； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为和； （2）由（1）知，当和时，无极大值，不成立 当时，函数的极大值为，解得， 由于，所以． 当时，函数的极大值为，得， 令，则，， 在取得极大值，且. 因为，所以，而在单增，所以，解为，则. 综上. 【点睛】 方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 【真题演练】 2．（2021·辽宁高三二模（理））已知函数. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间 （Ⅱ）若在上有且仅有一个极小值点，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）增区间是，减区间是；（Ⅱ）. 【分析】 （1）应用二阶导数证明单调递增，令，进而研究的单调区间； （2）由的导函数知、函数在区间内单调，不存在无极值点，而当，构造，利用导数研究其单调性，进而确定的单调性并判断零点的情况，即可求a的范围. 【详解】 （1）由题设，当，有，， 在上递增， 当，，递减， 当，，递增， 增区间是，减区间是 （2）当，， ①当时，由（1）知，在递增，无极值点， ②由（1）知：a = 2时，f(x)在 x > 0上单调增，无极值点， ③当时，令，则， 当时，，，即递减，，即； 当，，，即递增， (下证引理：)：令，则，当，，递增；当，，递减.而，所以，证毕. ，又， 在上有唯一零点， 当，，有，即递减；当，，有，递增； 有唯一极小值点 综上所述，的取值范围是. 【点睛】 关键点点睛： （1）利用导数研究函数的单调区间即可； （2）应用分类讨论思想，并构造函数，结合其导数研究单调性，进而判断原函数的的单调性及对应单调区间，结合零点存在性定理求参数范围. 3．（2021·云南昆明市·高三其他模拟（理））已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）证明：，. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出函数的导数，由题可得在恒成立，构造函数，可利用导数求出最小值，即可求出的取值范围； （2）构造函数，利用导数可得，进而得，构造函数，利用导数可得，即可将所证不等式化为证明，再次构造函数利用导数即可证明. 【详解】 解：（1）， 若在上单调递增，则，即， 设，则，因为，所以， 故在上单调递增，所以，所以. 所以的取值范围为. （2）设，则，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以时，，当时，显然， 故时，. 设，则，， 则在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，所以， 即. 所以. 所以， 只需证，即证. 设，则，， 所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，. 故成立，所以，当时，. 综上所述，，. 【点睛】 关键点睛：本题考查函数不等式的证明，解题的关键是先后两次构造函数将不等式转化为只需证明，再利用导数证明. 4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【分析】 （1）利用导数，讨论、时的符号，进而确定的区间单调性； （2）由题设函数不等式恒成立，得在上恒成立，构造，求其导数并判断单调性，进而确定零点有，保证，可将问题转化为时求的范围，进而确定的值域，进而求的范围． 【详解】 （1）的定义域是，． ①当，即时，在上恒成立，则在上单调递增； ②当，即时，令，得；令，得；则在上单调递减，在上单调递增． （2）当，即，则在上恒成立， 设，则， 易知在上单调递增，且当时，，当时，，所以存在唯一零点， 令，则，且在上单调递减，在上单调递增， ∴，即有， 设，令，，则单调递增，又，故，得， ∴增函数，其值域为，即的取值范围为