考点03 函数与导数（3）-备战2021年高考数学经典解答题压轴题考前必刷（全国通用）

考点03 函数与导数（3） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 【真题分析】 例 1．（2020·浙江高考真题）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数． （Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点； （Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析. 【分析】 （I）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论； （II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式； （ii）先根据零点条件转化：，再根据放缩，转化为证明不等式，最后构造差函数，利用导数进行证明. 【详解】 （I）在上单调递增， ， 所以由零点存在定理得在上有唯一零点； （II）（i）， ， 令 一方面： ， 在单调递增，， ， 另一方面：， 所以当时，成立， 因此只需证明当时， 因为 当时，，当时，， 所以， 在单调递减，，， 综上，. （ii）， ，， ，因为，所以， ， 只需证明， 即只需证明， 令， 则， ，即成立， 因此. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力描述难题. 【真题演练】 2．（2019·天津高考真题（理））设函数为的导函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明. 【答案】（Ⅰ）单调递增区间为的单调递减区间为.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明 【分析】 (Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间； (Ⅱ)构造函数，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数的最小值即可证得题中的结论； (Ⅲ)令，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果. 【详解】 (Ⅰ)由已知，有. 当时，有，得，则单调递减; 当时，有，得，则单调递增. 所以，的单调递增区间为， 的单调递减区间为. (Ⅱ)记.依题意及(Ⅰ)有：， 从而.当时，，故 . 因此，在区间上单调递减，进而. 所以，当时，. (Ⅲ)依题意，，即. 记，则. 且. 由及(Ⅰ)得. 由(Ⅱ)知，当时，，所以在上为减函数， 因此. 又由(Ⅱ)知，故： . 所以. 【点睛】 本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力. 3．（2019·浙江高考真题）已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）对任意均有 求的取值范围. 注：为自然对数的底数. 【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）. 【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可. (2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可. 【详解】 (1)当时，，函数的定义域为，且： ， 因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是. (2)由，得， 当时，，等价于， 令，则， 设，， 则， （i）当时，， 则， 记， 则 列表讨论： x （） 1 （1，+∞） p′（x） ﹣ 0 + P（x） p（） 单调递减 极小值p（1） 单调递增 （ii）当时，， 令， 则， 故在上单调递增，， 由（i）得， ， 由（i）（ii）知对任意， 即对任意，均有， 综上所述，所求的a的取值范围是． 【点睛】 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 4．（2014·湖北高考真题（文））为圆周率，为自然对数的底数. （1）求函数的单调区间； （2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数； （3）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论. 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）最大数为，最小数为；（3），，，，，. 【详解】 试题分析：（1）先求函数的定义域，用导数法求函数的单调区间；（2）利用（1）的结论结合函数根据函数、、的性质，确定，，，，，这6个数中的最大数与最小数；（3）由（1），（2）的结论只需比较与和与的大小，时，，即，在上式中，令，又，则，即得，整理得，估算的值，比较与3的