考点02 函数与导数（2）-备战2021年高考数学经典解答题压轴题考前必刷（全国通用）

考点02 函数与导数（2） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 【真题分析】 例 1．（2019·江苏高考真题）设函数，为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值； （3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤． 【答案】（1）； （2）的极小值为 （3）见解析. 【分析】 （1）由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a的值； （2）由题意首先确定a,b,c的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值. （3）由题意首先确定函数的极大值M的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式： 解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式； 解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值， 因为，所以． 当时，． 令，则． 令，得．列表如下： + 0 – 极大值 所以当时，取得极大值，且是最大值，故． 所以当时，，因此． 【详解】 （1）因为，所以． 因为，所以，解得． （2）因为， 所以， 从而．令，得或． 因为，都在集合中，且， 所以． 此时，． 令，得或．列表如下： 1 + 0 – 0 + 极大值 极小值 所以的极小值为． （3）因为，所以， ． 因为，所以， 则有2个不同的零点，设为． 由，得． 列表如下： + 0 – 0 + 极大值 极小值 所以的极大值． 解法一： ．因此． 解法二： 因为，所以． 当时，． 令，则． 令，得．列表如下： + 0 – 极大值 所以当时，取得极大值，且是最大值，故． 所以当时，，因此． 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力． 【真题演练】 2．（2019·江苏高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）． （1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长； （2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由； （3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离． 【答案】（1）15（百米）； （2）见解析； （3）17+（百米）. 【分析】 解：解法一： （1）过A作，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长； （2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可. （3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离． 解法二： （1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长； （2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可. （3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离． 【详解】 解法一： （1）过A作，垂足为E. 由已知条件得，四边形ACDE为矩形，. 因为PB⊥AB， 所以. 所以. 因此道路PB的长为15（百米）. （2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处，连结AD，由（1）知， 从而，所以∠BAD为锐角. 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此，Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置. 当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求； 当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求. 设为l上一点，且，由（1）知，， 此时； 当∠OBP>90°时，在中，. 由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置. 由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+. 因此，d