专题04不等式-2021年高考数学（理）三轮突破提升专题

《2021年数学（理）数列与不等式二轮突破提升》 专题04 不等式 一、简单的线性规划问题 　　1.求最值:求二元一次目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,将z=ax+by转化为直线的斜截式y=-x+,通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界取得. 2.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后用字母表示变量,列出线性约束条件,写出要研究的函数,转化成线性规划问题. 3.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题. 【例1】(1)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值是　　　　.  (2)A,B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已知A产品需要在甲机器上加工3小时,在乙机器上加工1小时;B产品需要在甲机器上加工1小时,在乙机器上加工3小时.在一个工作日内,甲机器至多只能使用11小时,乙机器至多只能使用9小时.A产品每件利润为300元,B产品每件利润为400元,则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是　　　　元.  【答案】(1)5　(2)1700 【解析】(1)绘制不等式组表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值,联立直线方程可得点A的坐标为(3,1). 据此可知目标函数的最小值为zmin=x+2y=3+2×1=5. (2)设生产A产品x件,B产品y件,则x,y满足约束条件生产利润为z=300x+400y.画出可行域,如图中阴影部分(包含边界)内的整点,显然z=300x+400y在点M或其附近的整数点处取得最大值, 由方程组解得则zmax=300×3+400×2=1700.故最大利润是1700元. 二、不等式的解法 　　1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础,一般可把当a<0时的情况转化为当a>0时的情形. 2.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外,常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. 3.分式不等式可以转化为一元二次不等式(组)求解. 【例2】(1)已知f(x)=求不等式f(x2-x)>-5的解集. (2)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. (3)已知对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,求k的取值范围. 【解析】(1)不等式f(x)>-5,即 或解得x≤0或0<x<2, 即不等式f(x)>-5的解集为, 则不等式f(x2-x)>-5即x2-x<2, 解得-1<x<2,故解集为. (2)当a=0时,原不等式可化为-x+1<0,即x>1. 当a<0时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0,即(x-1)>0,因为<1,所以x>1或x<. 当a>0时,原不等式可化为(x-1)<0, ①若0<a<1,则>1,所以1<x<; ②若a=1,则=1,所以不等式无解; ③若a>1,则<1,所以<x<1. 综上可知,当a<0时,不等式的解集为; 当a=0时,不等式的解集为; 当0<a<1时,不等式的解集为; 当a=1时,不等式的解集为⌀; 当a>1时,不等式的解集为. (3)函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k图象的对称轴为直线x=-=. ①当<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k∈⌀; ②当-1≤≤1,即2≤k≤6时, 只要f=+(k-4)×+4-2k>0,即k2<0,故k∈⌀; ③当>1,即k<2时,只要f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1,故有k<1. 综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零. 　三、不等式的性质 　　1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,比较法中的作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负. 2.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单. 【例3】(1)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论: ①>;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中正确结论的序号是(　　). A.① B.①② C.②③ D.①②③ (2)设a,b是实数,则“a>b>1”是“a+>b+”的(　　). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】(1)D　(2)A 【解析】(1)对于①,a>b>1,所以<,又因为c<0,所以>,故①正确. 对于②,幂函数y=xc(c<0)